商丘市2014年第三次模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

（1）B （2）C （3）B （4）D （5）D （6）B

（7）D （8）C （9）D （10）C （11）A （12）A

二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题

（17）解（Ⅰ）、
、成等差数列，且公差为2，
、
.

又
，
，

， ……………………………2分

，

恒等变形得
， ……………………………4分

解得
或
.又
，
. ……………………………6分

（Ⅱ）在
中，
，

，

，
. ……………………………8分

的周长

，……………10分

又
，
,

当
即
时，
取得最大值
．…………………………12分

（18）解：（Ⅰ）设
巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞为事件，

则
……………………………3分

（Ⅱ）依题意,
的可能取值为0,1,2 ． ……………………………4分

所以,随机变量
的分布列为:

0

1

2















……………………………8分

(方法一)设
巷道中堵塞点个数为,则的可能取值为0,1,2,3．

所以,随机变量的分布列为:

0

1

2

3

















． ……………………………11分

因为
,所以选择
巷道为抢险路线为好．……………………………12分

(方法二)设
巷道中堵塞点个数为,则随机变量
,

所以,
．

因为
,所以选择
巷道为抢险路线为好．……………………………12分

（19）解：（Ⅰ）取
中点
，连接
，
.

∵
为
中点，∴
∥
，又
⊥平面
，∴
⊥平面
，

∴
．……………………………2分

∵
为正三角形，∴
，

又
，∴
⊥平面
，

又∵
平面
， ∴
． ……………4分

（Ⅱ）以O为原点，以
，
，
的方向分别为轴，

轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意

，

．…………………6分

设
，

则
．

要使直线
平面
，只要

即
，解得
． ……………………………8分

∴的坐标为
．

∴当为线段
的中点时，
平面
．……………………………9分

（Ⅲ）取线段
的中点，则
，易知
平面
，

故
为平面
的一个法向量．……………………………10分

又由（II）知
为平面
的一个法向量． ………………11分

设二面角
的平面角为，则

．

∴二面角
的余弦值为
． ……………………………12分

（20）解：（Ⅰ）因为
在抛物线
上，

所以
，
，

同理
，依题有
，因为
，

所以
． ………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， ………………………5分

设
的方程为
，即
，

到
的距离为
，

，………………………7分

所以

， ………………………9分

令
，由
，
，可知
．

，……………………10分

因为
为偶函数，只考虑
的情况，

记
，
，故
在
是单调增函数，

故
的最大值为

∴
． ………………………12分

（21）（Ⅰ）证明：

，则
，

设
，则
， ………………………2分

当
时，
，即
为增函数，

所以
，

即
在
时为增函数，所以
． ………………………4分

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
时，
，
，

所以
， ………………………6分

设
，则
，

设
，则
，

当
时
，所以
为增函数，

所以
，所以
为增函数，所以
，

所以
对任意的
恒成立. ………………………8分

又
，
时，
，

所以
时
对任意的
恒成立. ………………………9分

当
时，设
，则
，

，所以存在实数
，使得任意
，均有
，所以
在
为减函数，

所以在
时
，所以
时不符合题意.

综上，实数的取值范围为
. …………………………12分

（Ⅱ）解法二：因为
等价于
…………6分

设
，则

可求
， ……………………………8分

所以当
时，
恒成立，
在
是增函数，

所以
，即
，即

所以
时，
对任意
恒成立．………………………9分

当
时，一定存在
，满足在
时，
，

所以
在
是减函数，此时一定有
，

即
，即
，不符合题意，故
不能满足题意，

综上所述，
时，
对任意
恒成立．…………12分

（22）解：（Ⅰ）连接
，
，
是直径，则
，

由
∥
，得
，

∴
是
的中垂线，………………2分

∴
，
，

∴
，

∴
，所以
是圆
的切线. ．………………………5分

（Ⅱ）∵
∥
，∴
，
，

∴
∽
，∵
，

∴
， ………………………8分

∴
，

∴
， ∴
． ………………………10分

（23）解：（Ⅰ）由
得，
直角坐标
，

所以圆
的直角坐标方程为
，…………2分

由
得，圆C的直角坐标方程为

． ………………………5分

（Ⅱ）将
，代入
的直角坐标方程
，

得
，则
，

设Ａ，Ｂ对应参数分别为
，
，则

，
，

，……………8分

因为
，所以
所以
，

所以
的取值范围为
． ………………………10分

（24）解：（Ⅰ）由题意，得
，对
恒成立，

即
． …………………………2分

又
，

　 ∴
，解得
． ………………………5分

（Ⅱ）
时，不等式可化为
．

当
时，
，解得
，∴
；　　　　　　　

当
时，
，解得
，∴
；　　　　　　

当
时，
，∴
.　　　　　　　　　　　　　

综上，原不等式的解集为
． ………………………10分