商丘市2014年高三第三次模拟考试

数学（文科）参考答案

一、选择题(每小题5分，共60分) C D A B D B D C B C A A

二、填空题(每小题5分，共20分)

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）、
、成等差数列，且公差为，

∴
、
.

又
，∴
，

由余弦定理，得
，...........................2分

即
，整理，得
,.......4分

解得
或
，又
，∴
. ......................6分

（Ⅱ）在
中，由正弦定理，得
，

即
，

∴
，
，............................8分

∴
的周长

，..........10分

又
， ∴
，

∴ 当
，即
时，
取得最大值
......12分

（18）解：（Ⅰ）
，
,

由
， 得
，解之得
,.2分

合格

零件数

不合格

零件数

合计



甲

24

6

30



乙

12

18

30



合计

36

24

60



由于合格零件尺寸为
，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：

……………………4分

所以
,因
,

故有
的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关. .............6分

（Ⅱ）尺寸大于
的零件中，甲有合格零件9个，不合格零件3个；乙有合格零件4个，不合格零件11个,

设甲加工的合格零件为
，甲加工的不合格零件为
；乙加工的合格零件为
，乙加工的不合格零件为
.因此，“从甲、乙中各取1个”的所有基本事件是：

…，
，共
种情况...................8分

其中，“取到的2个都是不合格零件”的基本事件是：

…，
，共
种情况. ..........................10分

故所求概率为
. .................................12分

（19）解：（Ⅰ）由题可知，
中，
，
,

∴
,

又
中，
，
,

∴
,

∴
,....................3分

∵ 平面
平面
，

且平面
平面
,

∴
平面
.

又
平面
,

∴平面
平面
. ..................................6分

（Ⅱ）∵
,

过点作
，∵平面
平面
，

∴
平面
,.......................................9分

在
中，易求得
,

∴ 四棱锥
的体积

..................12分

（20）解：(Ⅰ）

依题意
在
时恒成立，

即
在
时恒成立. ......................2分

则
在
时恒成立，

即

,

当
时，
取最小值
,

∴的取值范围是
. ................................5分

(Ⅱ）

设
则
.....7分

列表：





























(

极大值

(

极小值

(



∴
极小值
，
极大值
，

又
.....................................9分

方程
在[1，4]上恰有两个不相等的实数根,

∴
， 得
.........................12分

（21）解：(Ⅰ）由线段的垂直平分线的性质，得
,

又
，∴
，∴
,

∴ 动点
的轨迹是以
，
为焦点，以
为长轴长的椭圆,..2分

由
，
，得
.

∴ 动点
的轨迹方程为
. ..........................4分

(Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，

得
，
，得
..................6分

当直线
的斜率存在时，设其方程为
,

由
，得
,

设
，
，则
，
...8分

从而

综上，恒有
. ..................................12分

（22）解：（Ⅰ）连接
，
，
是直径，则
,

由
∥
，得
,

∴
是
的中垂线, ................2分

∴
，
,

∴

∴
，所以
是圆
的切线. .....................5分

（Ⅱ）∵
∥
，∴
，
,

∴
∽
，∵

∴
, .........................8分

∴
，

∴
， ∴
. ..............................10分

（23）解：（Ⅰ）由
得，
直角坐标
,

所以圆
的直角坐标方程为
, .............2分

由
得，圆
的极坐标方程为

..............................5分

（Ⅱ）将
，代入
的直角坐标方程
,

得
，则
,

设，对应参数分别为
，
，则

，
,

，............8分

因为
，所以
所以
,

所以
的取值范围为
. .........................10分

（24）解：（Ⅰ）由题意，得
，对
恒成立,

即
, .............................2分

又
,

　 ∴
，解得
. ..................5分

（Ⅱ）
时，不等式可化为
,

当
时，
，解得
，∴
.　　　　　　　

当
时，
，解得
，∴
.　　　　　　

当
时，
，∴
.　　　　　　　　　　　　

综上，原不等式的解集为
. ............................10分