2013-2014学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（五）

安阳一中 郸城一高 扶沟高中 鹤壁高中 淮阳中学 济源一中 开封高中

灵宝一高 洛阳一高 林州一中 内黄一中 南阳一高 平顶山一中 濮阳一高

商丘一高 太康一高 温县一中 新乡一中 夏邑高中 虞城高中 叶县一高

（学校名称按其拼音首字母顺序排列）

数学（理科）

本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

第I卷 选择题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1)已知集合
，若
，则由a的取值构成的集合为

(A)
(B){0} (C){0,1} ( D)

(2)设i为虚数单位，复数
的共轭复数为
，且
，则复数z的模为

(A)5 (B)
(C)2 -i (D)1

(3)执行如图所示的程序框图，当输入的x=9时，则输出的k=

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

(4)已知椭圆
的左、右焦点分别为
，P为椭圆C上一点，若
为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为

(A)
(B)
(C)
或
(D)

(5)如果一个几何体的三视图如图所示（长度单位：cm），则此几何体的体积是

(A)

(B)

(C)

(D)

(6)已知
为锐角，且
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

(7)已知
展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则
：

(A)
(B)
(C
(D)

(8)已知函数
，若命题“
且
，使得
”为真命题，则下列结论一定正确的是

(A)
(B)a<0 (C) b≤0 (D)b>l

(9)已知
，则函数
在区间(1，2)上存在一个零点的概率为

(A)
(B)
(C)
(D)

(10)已知正三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O上，且PA =PB =PC =
，AB= BC=CA =2
，则球O的表面积为

( A)
(B)
(C)
(D)

(11)函数
，若方程
恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围为

(A)
(B)

(C)
(D)

(12)若曲线
与曲线
存在公共切线，则a的取值范围为

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷 非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

(13)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足
，且
，则ab的值为________．

(14)设变量x，y满足
，则z=2x-y的最大值为_________.

(15)已知
，若函数
的最小值为1，则
_______．

(16)如图，B，C两点在双曲线
的右支上，线段BC的垂直平分线DA交y轴于 点
，若
，则点A到直线BC的距离d=________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

已知|
为数列
的前n项和，且
．

(I)求证：
为等比数列；

(Ⅱ)求数列
的前n项和

(18)（本小题满分12分）

为了解当前国内青少年网瘾的状况，探索青少年网瘾的成因，中国青少年网络协会 调查了26个省会城市的青少年上网情况，并在已调查的青少年中随机挑选了100 名青少年的上网时间作参考，得到如下的统计表格．平均每天上网时间超过2个小时可视为“网瘾”患者，

(I)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选3名青少年，求至少有一人是“网瘾”患者的概率；高 考 资 源 网

(Ⅱ)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选4名青少，记X为“网瘾”患者的人数，求X的分布列和数学期望．

(19)（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P - ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA=PD，AD=
AB=2，且平面PAD
平面.4BCD.

(I)求证：PC
BD；

(Ⅱ)若四棱锥P - ABCD的体积为
，求二面角A -PC -D的余弦值．

(20)（本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点为F，过点F的直线Z交抛物线C于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M

(I)若△MAB面积的最小值为4，求p的值；

(Ⅱ)在(I)的条件下，若△MAB的三边长成等差数列，求此时点M到直线AB的距离．

(21)（本小题满分12分）

已知函数
，

(I)
，试求
的单调区间；

(Ⅱ)若x≥1时，恒有
，求a的取值范围，

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

(22)（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，E，P，B ，C为圆O上的四点，直线PB，PC，BC分别交直线EO于M，N三点，且PM= PN.

( I)求证：
；

(Ⅱ)若BC∥PE，求
的值．

(23)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知直线
（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴， 建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，且
与
相交于A，B两点．

( I)当
时，求
；

(Ⅱ)当a变化时，求弦AB的中点P的参数方程，并说明它是什么曲线．

(24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知函数
.

( I)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；

(Ⅱ)若对任意的x∈R，都有
，求a的取值范围．

（1）C （2）B （3）B （4）C （5）B （6）C

（7）A （8）B （9）C （10）A （11）A （12）D

（13）
（14）7

（15）
（16）

（17）解：（Ⅰ）由
可得

，

又
，则
，

得
，得
，

，故
为等比数列.……………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，故
，

…………………………………………（12分）

（18）解：由题意得，该100名青少年中有25个是“网瘾”患者.

（Ⅰ）设
表示“所挑选的3名青少年有
个青少年是网瘾患者”，“至少有一人是网瘾患者”记为事件
，

则
.………………………（4分）

（Ⅱ）
的可能取值为
，

，

，

，

，

.……………………………………………………………（10分）

的分布列为

0

1

2

3

4

















 则
.…………………………（12分）

（19）解：（Ⅰ）取
为
的中点，连接
,如下图.

则在矩形
中，有
,可得
，

则
故
，

故
,…………………………………………………………………………………（3分）

由
，
为
中点，可得
,又平面
平面
.

则
,则
.

又
平面
，
平面
，则有
平面
，

又
平面
,故
.…………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由
，可得
，………（7分）

建立如图所示空间直角坐标系，则有

，

故
，
.……………………（8分）

设平面
的一个法向量为
，

则有
，即
，

得
，

同理，设平面
的一个法向量为
,

则有
，可得
，

……………………………………………（10分）

由图可知二面角
为锐二面角，

故二面角
的余弦值为
.………………………………………………（12分）

（20）解：（Ⅰ）设
，直线
，

则将直线
的方程代入抛物线
的方程可得
，

则
，（*）

故
.

因直线
为抛物线在
点处的切线，则

故直线
的方程为
，

同理，直线
的方程为
，

联立直线
的方程可得
，又由（*）式可得
，

则点
到直线
的距离
，

故
，

由
的面积的最小值为4，可得
，故
.……………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，故
，则
为直角三角形，

故
①

由
的三边长成等差数列，不妨设
，可得