上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）

数学（理）试卷

(2014年4月10日)

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数
的定义域是　　 　．

2．函数
的最小正周期
　 　．

3．已知全集
，集合
，
．若
，则实数的取值范围是 ．

4．已知等差数列
的公差为
，
，前项和为
，则
的数值是 　．

5．函数
的单调递增区间是 　　．

6．函数
的反函数是
，则反函数的解析式是
　 　　．

7．方程
的解
．

8．在
中，角
所对的边的长度分别为
，且
，

则
　 .

9．已知
是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程
的一个根，则实数
，
．

10．若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为
，球心到该截面的距离是
，则这个球的表面积是 ．

11．(理)已知向量
，则向量
在向量
的方向上的投影是 　　 ．

12．(理)直线
的参数方程是
是参数)，则直线
的一个方向向量是 ．(答案不唯一)

13．(理)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量
表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量
的数学期望值
．

14．已知函数
是定义域为的偶函数. 当
时，
若关于的方程

有且只有7个不同实数根，则

(理)实数的取值范围是 　．

二．选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知
，且
，则下列结论恒成立的是 　 [答] ( )．

A．
B．
　C．
　　D．

16．已知空间直线
不在平面内，则“直线
上有两个点到平面的距离相等”是“
”的

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答] ( )．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件

17．已知
，则直线
与圆：
的位置关系是

[答] ( )．

A．相交 B．相切　C．相离　　D．不能确定

18．(理)给出下列命题：

(1)已知事件
是互斥事件，若
，则
；

(2)已知事件
是互相独立事件，若
，则
(
表示事件的对立事件)；

(3)
的二项展开式中，共有4个有理项．

则其中真命题的序号是 　　 　 [答]( 　)．

A．(1)、(2)． 　B．(1)、(3)． C．(2)、(3)． D．(1)、(2)、(3)．

三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

(理)已知直三棱柱
中，
，是棱
的中点．如图所示．

(1)求证：
平面
；

(2)求二面角
的大小．

20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

　　已知复数
．

(1)求
的最小值；

(2)设
，记
表示复数z的虚部). 将函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移
个单位长度，得到函数
的图像. 试求函数
的解析式．

21．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

　某通讯公司需要在三角形地带
区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域
内，乙中转站建在区域
内．分界线
固定，且
=
百米，边界线
始终过点，边界线
满足
．

设
(
)百米，
百米.

(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；

(2)当取何值时？整个中转站的占地面积
最小，并求出其面积的最小值．

22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知数列
满足
(
)．

(1)求
的值；

(2)求
(用含的式子表示)；

(3) (理)记数列
的前项和为
，求
(用含的式子表示)．

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

(理)已知点
是平面直角坐标系上的一个动点，点
到直线
的距离等于点
到点
的距离的2倍．记动点
的轨迹为曲线
.

(1)求曲线
的方程；

(2)斜率为
的直线
与曲线
交于
两个不同点，若直线
不过点
，设直线
的斜率分别为
，求
的数值；

(3)试问：是否存在一个定圆
，与以动点
为圆心，以
为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．

参考答案和评分标准(2014年4月10日)

一、填空题

1．
； 8．
；

2．； 　　　　　　 　 9．
；

3．
； 10．
；

4．； 11．(理)；

5．
； 12．(理)
；

6．
； 13．(理)
；

7．
　； 14．(理)
．

二、选择题：　15．C　　　16．B　　　17．B　　　18．D

三、解答题

19．本题满分12分．

(理)证明(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点
、
、

、
、
、
．　　　　　

于是，
．　

可算得
．　　　　　　　

因此，
．

又
，

所以，
． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)设
是平面
的法向量．

∴

又
，

∴
　取
，可得
即平面
的一个法向量是
．　

由(1)知，
是平面
的一个法向量，

记
与
的夹角为
，则
，
．　　　　　　　 　　　

结合三棱柱可知，二面角
是锐角，

　∴所求二面角
的大小是
． 　　　　　　　

20．本题满分14分

解(1)∵
，

∴

.

∴当
，即
时，

.

(2)∵
，

∴
.

∴
.

将函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是
. 　

把函数
的图像向右平移
个单位长度，得到的图像对应的函数是
．

∴
. 　

21．本题满分12分．

解(1)结合图形可知，
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

于是，
，　　　　　　　　　　

　　解得
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　(2)由(1)知，
，

因此，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　
　　　　　　　　 　

(当且仅当
，即
时，等号成立)．　　　　 　　

答：当
米时，整个中转站的占地面积
最小，最小面积是
平方米. 12分

22．本题满分18分．

解(1)
(
)，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)由题知，有
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

．

∴
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(理)(3) ∵
，

∴
．

　　∴
．

　　又
，

当为偶数时，

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当为奇数时，

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

综上，有
　　　　　　　　　　 　 　

23．本题满分18分．

(理)解(1)由题知，有
.

　　化简，得曲线
的方程：
．

(2)∵直线
的斜率为
，且不过
点，

　 ∴可设直线
：
．

联立方程组
得
．

　 又交点为
，

∴
．

　 ∴

(3)答：一定存在满足题意的定圆
.

理由：∵动圆
与定圆
相内切，

∴两圆的圆心之间距离
与其中一个圆的半径之和或差必为定值.

又
恰好是曲线(椭圆)
的右焦点，且
是曲线
上的动点，

记曲线
的左焦点为
，联想椭圆轨迹定义，有
，

∴若定圆的圆心
与点重合，定圆的半径为4时，则定圆
满足题意.

∴定圆
的方程为：
.