上海市浦东新区2014年高考预测（二模）

数学（理）试卷

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对
得4分，否则一律
得零分.

1. 已知全集
，若集合
，则
=__
___

2. 双曲线
的渐近线方程为
.

3.函数
的最大值为__5_____

4.已知直线
和
，若
，则

.

5.函数
的反函数为
，如果函数
的图像过点
，那么函数
的图像一定过点___
___.

6. 已知数列
为等差数列，若
，
，则
的前
项的和
__
___.

7.一个与球心距离为
的平
面截球所得的圆的面积为
，则球的体积为 __
__ ．

8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，
甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.98

9.设
，
的二项展开式中含
项的系数为7，则
__
_
_．

10.(理)在平面直角坐标系
中,若直线
（
为参数）过椭圆
（
为参数）的右顶点,则常数
=_3__. [来源:Z§xx§k.Com]

11.(理)已知随机变量
的分布列如右表，若
，则
=__1 ．

x

1

2

3

4





n

0.2

0.3

m





12.在
中, 角
所对的边长
,
的面积为

,外接圆半径
，则
的周长为_____
__

13．抛物线
的焦点为F，点
为该抛物线上的动点，又点
，则
的最小值为
.

14.(理)已知函数
的定义域为
，值域为集合
的非空真子集，设点
，
，
，
的外接圆圆心为M，且
，则满足条件的函数
有＿12＿个．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. “
”是“
”的(　A　)

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件[来源:Zxxk.Com]

16. （理）已知
，
，
是虚数单位.若复数
是实数，则
的最小值为( D )

（A）0 （B）
（C ） 5 （D）

17.能够把椭圆
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（ D ）

（A）
（B）
（C）
（D）

18. （理）方程
的解的个数为（ B ）

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步
骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.

（理）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
、
、
分别是
、
、
的中点.

（1）求异面直线
与
所成角的大小；

（2）求点
到平面
之间的距离.

解：（1）设
的中点为
，连接
，则
，且
，所以
或其补角即为异面直线
与
所成的角。…………………………………………3分

连接ME，在
中，
………………………………5分

所以异面直线
与
所成的角为
。……………………………………6分

（2）

，
，

以点
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为
轴，如图建立空间直角坐标系
，则：

，
………………8分

设平面
的一个法向量为

则

所以平面
的一个法向量为
. …10分

又
，

所以点
到平面
的距离
.………………………12分

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

如图，ABCD是边长为10海里的正
方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在
处同时出发，沿直线
、
向前联合搜索，且
（其中点
、
分别在边
、
上），搜索区域为平面四边形
围成的海
平面.设
，搜索区域的面积为
.

（1）试建立
与
的关系式，并指出
的取值范围；

（2）求
的最大值，并求此时
的值.

解：（1）
……………………………………………………2分

……………………………………………4分

…………………………………6分

（2）令
…………………………………………………………8分

……………10分

，（当且仅当
时，即
，等号成立）…12分

当
时，搜索区域面积
的最大值为
（平方海里）

此时，
…………………………………………………………14分

21. （本题
满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

（理）已知定义在R上的函数
，对任意
实数
都有
，且
.

（1）若对任意正整数
，有
，求
、
的值，并证明
为等比数列；

（2）设对任意正整数
，有
．若不等式

对任意不小于2的正整数
都成立，求实数
的取值范围．

解：（1）令
，得
，

则
，
…………………………………………………………1分

令
，得
，

则
，
……………………………………………………2分

令
，得
，

即
， ……………………………………………………4分

则
，

所以，数列
是等比数列，公比
，首项
. ………………………6分

（2）令
，得
，即

则
是等差数列，公差为2，首项
，

故
， ………………………………………………8分

. …………………………………………………………………9分

设
，则

，

所以
是递增数列，
，…………………………11分

从而
，即
………………………………………12分

则
，解得
． ………………………………………………14分

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.

（理）已知中心在原点
，左焦点为
的椭圆
的左
顶点为
，上顶点为
，
到直线
的距离为
.

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 过点
作直线
，使其交椭圆
于
、
两点，交直线
于
点. 问：是否存在这样的直线
，使
是
、
的等比中项？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.

(3) 若椭圆
方程为：
（
），椭圆
方程为：
（
，且
），则称椭圆
是椭圆
的
倍相似椭圆.已知
是椭圆
的
倍相似椭圆，若直线
与两椭圆
、
交于四点(依次为
、
、
、
)，且
，试研究动点
的轨迹方程.

解：(1)设椭圆
方程为：
（
），

所以直线
方程为：
………………………………………………1分

∴
到直线
距离为

…… 2分[来源:Z|xx|k.Com]

又
，解得：
，
………………………………………………3分

故：椭圆
方程为：
.………………………………………………… 4分

(2) 当直线
与
轴重合时，
，而
，所以

若存在直线
，使
是
、
的等比中项，[来源:学科网ZXXK]

则可设直线
方程为：
………………………………………………… 5分

代人椭圆
的方程，得：
即：

∴

记
，
，
∴
，
……… 7分

∵
，即