上海市静安、杨浦、青浦、宝山2013—2014学年联合高考模拟考试文理科数学试卷（理科）

（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4

一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.二阶行列式
的值是 . （其中为虚数单位）

2. 已知
是方向分别与
轴和
轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量
的模等于 .

3．二项式
的展开式中含
项的系数值为_______________.

4.已知圆锥的母线长为
,侧面积为
,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留
)

5.已知集合
，
，则
.

理6文7.在平面直角坐标系
中，若圆
上存在
，
两点，且弦
的中点为
，则直线
的方程为 .

理7文8.已知
，则
的最小值为_____________.

理8文10. 已知首项
的无穷等比数列

的各项和等于4，则这个数列
的公比是 ．

9．（理）在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），
为坐标原点，M为
上的动点，P点满足
，点P的轨迹为曲线
．则
的参数方程为 .

10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .

11．（理）从5男和3女8位志
愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．

12．（理）设各项均不为零的数列
中，所有满足
的正整数的个数称为这个数列
的变号数.已知数列
的前
项和
，
（
），则数列
的变号数为 .

13.（理）已知定义在
上的函数
满足
.当
时
.设
在
上的最大值为
，且数列
的前
项和为
，则
. （其中
）

14．（理）正方形
和
内接于同一个直角三角形
中，如图所示，设
，若
，
，则
.



二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15. （理）在实数集
上定义运算
：
．若关于
的不等式
的解集是集合
的子集，则实数
的取值范围是…………………（ ）.

16．“
”是“函数
的最小正周期为
”的…………（ ）.[来源:学科网ZXXK]

充分必要条件
充分不必要条件

必要不充分条件
既不充分又必要条件

17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为
、
,则
:
=………………………………………………………………（ ）.

1:1
2:1

3:2
4:1

18.（理）函数
的定义域为实数集
，
对于任意的
都有
.若在区间
上函数
恰有四个不同的零点，则实数
的取值范围是…………………………………………（ ）.

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

（理）如图，四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
平面
，
，
，
是
的中点.

(1) 求证：
平面
；

（2）若以
为坐标原点，射线
、
、
分别是
轴、
轴、
轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得
是平面
的法向量，求平面
与平面
所成
锐二面角的余弦值.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8
分

某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点
为圆心的两个同心圆弧
、弧
以及两条线段
和
围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧
所在圆的半径为10米．设小圆弧
所在圆的半径为
米（
），圆心角为
弧度．

（1）求
关于
的函数关系式；[来源:学§科§网Z§X§X§K]

（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为
，当
为何值时，
取得最大值？

21．（本题满分14分）本题
共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分

（理）已知椭圆

的右焦点为

，短轴的端点分别为
,且
.[来源:学科网ZXXK]

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
且斜率为

的直线交椭圆于
两点，弦
的垂直平分线与
轴相交于点
.设弦
的中点为
，试求
的取值范围．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

（理）设函数
，
.

（1） 解方程：
；

（2）令
，
，求证：

（3）若
是实数集
上的奇函数，且
对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

（理）设各项都
是正整数的无穷数列
满足：对任意
，有
．记
．

（1）若数列
是首项
，公比
的等比数列，求数列
的通项公式；

（2）若
，证明：
；

（3）若数列
的首项
，
，
是公差为1的等差数列．记
，
，问：使
成立的最小正整数
是否存在？并说明理由．

四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答

参考答案及评分标准 2014.04

说明

1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．

4．给分或扣分均以1分为单位．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

理1．2； 2．

3．35； 4．

5．
；6．

7.
； 8．

9．
（
为参数）；10.

11．

12．3．

13.

14．

3．35； 4．

5．
；6．

7.
； 8．

9．
； 10.

11.
；
12．

13．当
时，
；

当
时，
舍去．

14.

二、选择题（本大题
满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15．D；16．B；17．C；18．理D；

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

19．（理）
. (1) 证明方法一：
四边形是平行四边形，

平面


，又
，
，

平面
.

方法二：证得
是平面
的一个法向量，

平面
.

(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面
一个法向量为
，

又平面
法向量为
，所以

所求二面角的余弦值为
.

20．(1)设扇环的圆心角为(，则
，

所以
，

(2) 花坛的面积为

．[来源:学科网ZXXK]

装饰总费用为
，

所以花坛的面积与装饰总费用的比
，

令
，则
，当且仅当t=18时取等号，

此时
．

答：当
时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．

21．理（1）依题意不妨设
，
，则
，
.

由
，得
.

又因为
，

解得
.

所以椭圆
的方程为
.

（2）依题意直线的方程为
.

由
得
.

设
，
，则
，
.

所以弦
的中点为

.

所以

.

直线
的方程为
，

由
，得
，则
，

所以
.

所以

.

又因为
，所以
.

所
以
.

所以
的取值范围是
.

22．理（1）
，
，

（2）
，
．

因为
，

所以，
，

．

=
．

（3）因为
是实数集上的奇函数，所以
.

，
在实数集上单调递增
.

由
得
，又因为
是实数集上的奇函数，所以，
，

又因为
在实
数集上单调递增，所以

即
对任意的
都成立，

即

对任意的
都成立，
.

23．理（1）
，

；

（2）根据反证法排除
和

证明：假设
，又
，所以
或

①当
时，
与
矛盾，所以
；

②当
时，即
，即
，又
，所以
与
矛盾；

由①②可知
．

（3）首先
是公差为1的等差数列，

证明如下：

时
，

所以

，

即

由题设
又

即
是等差数列．又
的首项
，所以
，

，对此式两边乘以2，得

两式相减得

[来源:学科网]

，
即
，当
时，
，即存在最小正整数5使得
成立．

注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明
．