上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）

数学（文）试卷

(2014年4月10日)

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数
的定义域是　　 　．

2．函数
的最小正周期
　 　．

3．已知全集
，集合
，
．若
，则实数的取值范围是 ．

4．已知等差数列
的公差为
，
，前项和为
，则
的数值是 　．

5．函数
的单调递增区间是 　　．

6．函数
的反函数是
，则反函数的解析式是
　 　　．

7．方程
的解
．

8．在
中，角
所对的边的长度分别为
，且
，

则
　 .

9．已知
是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程
的一个根，则实数
，
．

10．若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为
，球心到该截面的距离是
，则这个球的表面积是 ．

11．(文) 已知直线
，则直线
的夹角的大小是 　　 　　 ．(结果用反三角函数值表示)

12． (文) 已知实数
满足线性约束条件
则目标函数
的最大值是 ．

13． (文)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球(袋中仅有白色和黄色两种颜色的球)，若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是
，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是 　　　　　　．

14．已知函数
是定义域为的偶函数. 当
时，
若关于的方程

有且只有7个不同实数根，则

(文)
的值是 ．

二．选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知
，且
，则下列结论恒成立的是 　 [答] ( )．

A．
B．
　C．
　　D．

16．已知空间直线
不在平面内，则“直线
上有两个点到平面的距离相等”是“
”的

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答] ( )．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件

17．已知
，则直线
与圆：
的位置关系是

[答] ( )．

A．相交 B．相切　C．相离　　D．不能确定

18．(文) 四棱锥
的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下(AB平行于主视图投影平面)

则四棱锥
的体积= [答]( ) ．

A．24 　B．18 C．
D．8

三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

(文) 已知矩形
是圆柱体的轴截面，
分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为
，且该圆柱体的体积为
，如图所示．

(1)求圆柱体的侧面积
的值；

(2)若
是半圆弧
的中点，点
在半径
上，且
，异面直线
与
所成的角为
，求
的值．

20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

　　已知复数
．

(1)求
的最小值；

(2)设
，记
表示复数z的虚部).将函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移
个单位长度，得到函数
的图像. 试求函数
的解析式．

21．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

　某通讯公司需要在三角形地带
区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域
内，乙中转站建在区域
内．分界线
固定，且
=
百米，边界线
始终过点，边界线
满足
．

设
(
)百米，
百米.

(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；

(2)当取何值时？整个中转站的占地面积
最小，并求出其面积的最小值．

22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知数列
满足
(
)．

(1)求
的值；

(2)求
(用含的式子表示)；

(3) (文) 记
，数列

的前项和为
，求
(用含的式子表示)．

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

(文) 已知点
在双曲线
上，且双曲线的一条渐近线的方程是
．

(1)求双曲线
的方程；

(2)若过点
且斜率为
的直线
与双曲线
有两个不同交点，求实数
的取值范围；

(3)设(2)中直线
与双曲线
交于
两个不同点，若以线段
为直径的圆经过坐标原点，求实数
的值．

参考答案和评分标准(2014年4月10日)

一、填空题

1．
； 8．
；

2．； 　　　　　　 　 9．
；

3．
； 10．
；

4．； 11． (文)
；

5．
； 12．(文)
；

6．
； 13． (文)
；

7．
　； 14． (文)
.

二、选择题：　15．C　　　16．B　　　17．B　　　18．D

三、解答题

19．本题满分12分．　

(文) 解(1)设圆柱的底面圆的半径为，依据题意，有
，　

　∴　
．　　　　　　　　　　　　　　　

∴
． 　　　　　　　

(2) 设是线段
的中点，联结
，则
．　　　　　

　　因此，
就是异面直线
与
所成的角，即
．　　　　　　　　　

　又
，
，

　∴
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

　　　∴
． 　　　　　　　　　 　　

20．本题满分14分

解(1)∵
，

∴

.

∴当
，即
时，

.

(2)∵
，

∴
.

∴
.

将函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是
. 　

把函数
的图像向右平移
个单位长度，得到的图像对应的函数是
．

∴
. 　

21．本题满分12分．

解(1)结合图形可知，
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

于是，
，　　　　　　　　　　

　　解得
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　(2)由(1)知，
，

因此，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　
　　　　　　　　 　

(当且仅当
，即
时，等号成立)．　　　　 　　

答：当
米时，整个中转站的占地面积
最小，最小面积是
平方米. 12分

22．本题满分18分．

解(1)
(
)，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)由题知，有
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

．

∴
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(文) (3)由(2)可知，
，
． 　　　　　　　　　　

∴
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴
　

　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　

．

23．本题满分18分．

(文) 解(1)由题知，有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　解得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　因此，所求双曲线
的方程是

(2) ∵直线
过点
且斜率为
，

　　∴直线
：
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　联立方程组
得
．　　　　　　　　　　　　　

又直线
与双曲线
有两个不同交点，

∴
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解得
．

(3)设交点为
，由(2)可得

又以线段
为直径的圆经过坐标原点，

　因此，
为坐标原点）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

　于是，
即
，
，

　　　　
，　解得
．　　　　　　　　　　　　　　　　

　 又
满足
，且
，

　　所以，所求实数
．