崇明县2014年高考模拟考试试卷

高三数学（理科）

（考试时间120分钟，满分150分）

考生注意：

每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；

答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；

本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、经过点
且法向量为
的直线的方程是　　　　　　　　．

2、已知集合
，集合是函数
的定义域，则
　 　 　　．

3、方程
表示焦点在轴上的双曲线，则实数取值范围是　　　　　　　　．

4、已知数列
是首项为1，公差为2的等差数列，
表示数列
的前项和，则

　 　 　　．

5、在
的展开式中，含
项的系数等于　　　　　　　．（结果用数值作答）

6、方程
的解集是　 　 　　．

7、实系数一元二次方程
的一根为
（其中为虚数单位），则

　　　　　　　．

8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在

全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层）

在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于　　　　　．

9、已知
的反函数为
，则不等式
的解集是

　　　 　　　　．

10、已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比
= （结果用数值作答）．

11、在极坐标系中，圆
的圆心到直线
的距离等于　　　　　　　．

12、如果函数
，
，关于的不等式

对于任意
恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　．

13、已知二次函数
同时满足：①不等式
的解集有且只有一个

元素；②在定义域内存在
，使得不等式
成立．设数列
的前项

和为
，且
．规定：各项均不为零的数列
中，所有满足
的正整数

的个数称为这个数列
的变号数．若令
（
），则数列
的变号数等

于 ．

14、已知圆
，点
是该圆面（包括⊙O圆周及内部）上一点，则

的最小值等于　　　　　　　．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、给出下列命题，其中正确的命题是………………………………………………………（　　）

A．若
，且
，那么一定是纯虚数

B．若
、
且
，则

C．若
，则
不成立

D．若
，则方程
只有一个根

16、已知
，
．若是
的必要非充分条件，则实数a的取值范围是…（　　）

A．
B．

C．
D．



















17、已知随机变量
的分布律如右图，其中
成等差数列，

如果
，则
的值等于 ………………（　　）

A．
B．

C．
D．

18、某同学对函数
进行研究后，得出以下五个结论：①函数
的图像是轴对

称图形；②函数
对任意定义域中值，恒有
成立；③函数
的图

像与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数
，存在常

数
，函数
在
上单调递减，且
；⑤当常数满足
时，

函数
的图像与直线
有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④ D．①③④

三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19、（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图所示，在直四棱柱
中，底面
是矩形，
，
，
，

是侧棱
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的大小．

20、（本题满分14分）本题共有２小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，某广场中间有一块扇形绿地
，其中为扇形

所在圆的圆心，
，扇形绿地
的半径为．广场管理部门欲在绿地上修建观光

小路：在
上选一点，过修建与
平行的小路
，与

平行的小路
，且所修建的小路
与
的总长最长．

（1）设
，试将
与
的总长表示成的函数
；

（2）当取何值时，取得最大值？求出的最大值．

21、（本题满分14分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．

　　设
为奇函数，为常数．

（1）求的值；

（2）判断函数
在
上的单调性，并说明理由；

（3）若对于区间
上的每一个值，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

22、（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

平面直角坐标系
中，已知点

在函数
的图像上，

点

在直线

上．

（1）若点
与点
重合，且
，求数列
的通项公式；

（2）证明：当
时，数列
中任意三项都不能构成等差数列；

（3）当
时，记
，
，设
，将集合的

元素按从小到大的顺序排列组成数列
，写出数列
的通项公式
．

23、（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

已知椭圆
经过点
，且其右焦点与抛物线
的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于
两点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设O为坐标原点，线段
上是否存在点
，使得
？

若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）过点
且不垂直于轴的直线与椭圆交于
两点，点关于轴的对称点为，

试证明：直线
过定点．

崇明县2014年高考模拟考试（理科）参考答案及评分标准

填空题（本大题共14小题，满分56分）

1、
；2、
；3、
；4、；5、
；

6、
；7、；8、
；9、
；

10、
；11、
；12、
；13、
；14、
.

选择题

15、A； 16、B; 17、C； 18、C.

解答题

19、（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

解：建立如图所示空间直角坐标系.

（1）

.

（2）设
是平面
的一个法向量，

解得
，取
，得

，
的一个法向量为

设
与
的夹角为，则

结合图形，可判别得二面角
是锐角，它的大小为
.

20、（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

解：设扇形的半径为.

在
中，
，

，同理
.

（2）
，
.

当
，即
时，
.

21、（本题满分14分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.

解：（1）
为奇函数，

对定义域内的任意都成立，

，

， 解，得
或
（舍去）.

（2）由（1）知：
，

任取
，设
，则：

，

，

，

在
上是增函数.

（3）令
，

上是减函数，

由（2）知，
是增函数，

，

对于区间
上的每一个值，不等式
恒成立，

即
恒成立，
.

22、（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

解：(1)因为
,所以
,
,

由
,得
,所以
,

因为
且
,所以
, 　

所以
,
是等差数列,

（反证法）假设存在数列
中的三项
,
,
成等差数列,其中
,

则
,　且

所以
，

因为等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式不成立，

所以假设不成立.

所以数列
中的任意三项都不能构成等差数列. (2)由题意，得：
,

(3)当
时,设
,则
,且
,设
,
,则
,所以
,　

因为
,且
,所以
能被
整除.

当
时,
；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当
时,
,

所以
能被
整除. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当
时,

,

所以
不能被
整除. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

综上,
时,
，

所以
.

23、（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.

解：（1）由题意，得：

所以
， 解，得
，所以椭圆的方程为：
；

（2）设直线
的方程为：
，代入
，得：

恒成立.

设
线段
的中点为
，

则
，

由
得：
，

所以直线
为直线
的垂直平分线，

直线
的方程为：
，

令
得：
点的横坐标
，

因为
， 所以
，所以
.

所以线段
上存在点
使得
，其中
.

证明：设直线
的方程为：
，代入