上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模）

数学试卷（理科）

（时间120分钟，满分150分）

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、已知集合
，
，则
．

2、函数
（
）的最大值等于 .

3、在
中，已知
，则最大角等于 ．

4、已知函数
是函数

且
）的反函数，其图像过点
，则

．

5、复数满足
，则复数的模等于_______________．

6、已知
，
，则
．

7、抛物线
的焦点与双曲线
的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .

8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，

数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是 ．

9、已知
关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .

10、等差数列
的通项公式为
，下列四个命题．
：数列
是递增数列；
：数列
是递增数列；
：数列
是递增数列；
：数列
是递增数列．其中真命题的是 ．

11、椭圆

，参数的范围是
）的两个焦点为
、
，以
为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且
，则等于 ．

12、设
是半径为的球面上的四个不同点，且满足
，
，
，用
分别表示△
、△
、△
的面积，则
的最大值是 .

13、在
中，
，向量
的终点
在
的内部（不含边界），则实数的取值范围是 ．

14、对于数列
，规定
为数列
的一阶差分数列，其中
．

对于正整数，规定
为
的阶差分数列，其中
．若数列
有
，
，且满足
，则
．

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、已知
“
”；
“直线
与圆
相切”．则是
的（ ）

充分非必要条件
必要非充分条件
充要条件
既非充分也非必要条件

16、若函数
在区间
上存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）

或

17、已知数列
是首项为
，公差为
的等差数列，若数列
是等比数列，则其公比为（ ）

18、函数
在区间
上可找到个不同数
，
，……，
，使得
，则的最大值等于（ ）

8
9
10
11

三、解答题（满分74分）

19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点
是母线
的中点，
是底面圆的直径，底面半径
与母线
所成的角的大小等于
．

（1）当
时，求异面直线
与
所成的角；

（2）当三棱锥
的体积最大时，求
的值．

20、（本题满分14分）已知函数
，其中为常数．

（1）求函数
的周期；

（2）如果
的最小值为
，求的值，并求此时
的最大值及图像的对称轴方程.

21、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少
万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列
，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列
，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

22、（本题满分16分）函数
的定义域为，若存在常数
，使得
对一切实数均成立，则称
为“圆锥托底型”函数．

（1）判断函数
，
是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．

（2）若
是“圆锥托底型” 函数，求出
的最大值．

（3）问实数
、
满足什么条件，
是“圆锥托底型” 函数．

23、（本题满分18分）如图，直线
与抛物线
（常数
）相交于不同的两点
、
，且
（
为定值），线段
的中点为，与直线
平行的切线的切点为
（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．

（1）用
、
表示出
点、点的坐标，并证明
垂直于轴；

（2）求
的面积，证明
的面积与
、
无关，只与
有关；

（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连
、
，再作与
、
平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了
、
的面积，由此小张求出了直线
与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．

上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模）

数学答案（理科）

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、
； 2、4； 3、
； 4、
； 5、
；

6、3； 7、
； 8、
； 9、； 10、
，
；

11、
； 12、2； 13、
； 14、26 ；

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、； 16、
； 17、； 18、
；

三、解答题（满分74分）

19、(12分) 解：（1） 连
，过
作
交
于点，连
．

又
，
．又
．

，
等于异面直线
与
所成的角或其补角．

，
或
．……………5分

当
时，
．

，

当
时，
．
，

综上异面直线
与
所成的角等于
或
．………………8分

（2）三棱锥
的高为
且长为
，要使得三棱锥
的体积最大只要底面积
的面积最大．而当
时，
的面积最大．…………10分

又
，此时
，
，
………………12分

20、（14分）解（1）
．…………4分

.……………………6分

（2）
的最小值为
，所以
故
…………8分

所以函数
.最大值等于4……………………10分

，即
时函数有最大值或最小值，

故函数
的图象的对称轴方程为
.………………14分

21、（14分）解：（1）




9


8.5

…………







3


4.5


6.75

…………



………………………………2分

当
且
，
；

当
且
，
．

……………………5分

而
，
………………8分

（2）当
时，
．

当
时，

………………………………11分

由
得
，即
，得
……………………13分

到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分

22、（16分）解：（1）．
，即对于一切实数使得
成立，
“圆锥托底型” 函数．…………………………2分

对于
，如果存在
满足
，而当
时，由
，
，得
，矛盾，
不是“圆锥托底型” 函数．……………4分

（2）
是“圆锥托底型” 函数，故存在
，使得
对于任意实数恒成立．

当
时，
，此时当
时，
取得最小值2，
．…………………………7分

而当
时，
也成立．

的最大值等于．……………………8分

（3）①当
，
时，
，无论
取何正数，取
，则有
，

不是“圆锥托底型” 函数．………………10分

②当
，
时，
，对于任意有
，此时可取

是“圆锥托底型” 函数．………………12分

③当
，
时，
，无论
取何正数，取
．有
，
不是“圆锥托底型” 函数．………………14分

④当
，
时，
，无论
取何正数，取
，有
，
不是“圆锥托底型” 函数．

由上可得，仅当
时，
是“圆锥托底型” 函数．…………16分

23、（18分）解：（1）由
，得
，

点
…………………………2分

设切线方程为
，由
,得
，
，切点的横坐标为
，得
…………4分

由于
、的横坐标相同，
垂直于轴．……………………6分

（2）
，
．………8分

．……………………11分

的面积与
、
无关，只与
有关．………………12分

（本小题也可以求
，切点到直线
的距离
，相应给分）

（3）由（1）知
垂直于轴，
，由（2）可得
、
的面积只与
有关，将
中的
换成
，可得
．……14分

记
，
，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线
与线段
所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列
的无穷项和，此数列公比为
．

所以封闭图形的面积
…………………………18分