上海市浦东新区2014年高考预测（二模）

数学（文）试卷

一、填空
题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 已知全集
，若集合
，则
=__
___

2. 双曲线
的渐近线方程为
.

3.函数
的最大值为__5_____

4.已知直线
和
，若
，则

.

5.函数
的反函数为
，如果函数
的图像过点
，那么函数
的图像一定过点___
___.

6. 已知数列
为等差数列，若
，
，则
的前
项的和
__
___.

7.一个与球心距离为
的平面截球所得的圆的面积为
，则球的体积为 __
__ ．

8.(文) 把3本不同的语文书、7本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是__
__

9.设
，
的二项展开式中含
项的系数为7，则

__
__．

10.(文) 一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同一图形(如图)，那么搭成这样一个立
体图形最少需要 5 个小立方块．

11.(文) 已知数据
的均值为6，方差为8，则
=____2 _.

12.在
中, 角
所对的边长
,
的面积为
,外接圆半径
，则
的周长为_____
__

13．抛物线
的焦点为F，点
为该抛物线上的动点，又点
，则
的最小值为
.

14.(文) 已知函数
的定义域为
，值域为集合
的非空真子集，设点
，
，
，且
，则满足条件的函数
有＿12＿个．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. “
”是“
”的(　A　)

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

16. （文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数
的实部大于0，虚部不小于0，则复数
在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ A ）

17.能够把椭圆
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（ D ）

（A）
（B）
（C）
（D）

18. （文）方程
的解的个数为（ C ）

（A）2 (B）4 （C）6 （D）8[来源:Zxxk.Com]

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.

（文）如图，在直三棱柱
中，
，

，
，
是
的中点，点M在线段
上.

（1）当
为
中点时，求异面直线
与
所成角的大小.

（2）指出直线
与平面
的位置关系（不用证明），并求三棱锥
的体积.

解：（1）∵

∴
或其补角是异面直线
与
所成的角. …………………………………3分

连接
，则三角形
为直角三角形，且
，
，

∴
…………………………5分

∴异面直线
与
所成的角为
.………6分

（2）
//平面
即
∥平面
（不必证明）…………………………7分

∵
，
，
平面

所以
到平面
的距离为CA=1.

∥平面
，

可知
到平面
的距离与
到平面
的距离相等，为CA=1. …………9分

又
，∴
的面积
……………………………11分

.……………………………………………12分

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在
处同时出发，沿直线
、
向前联合搜索，且
（其中点
、
分别在边
、
上），搜索区域为平面四边形
围成的海平面.设
，搜索区域的面积为
.

（1）试建立
与
的关系式，并指出
的取值范围；

（2）求
的最大值，并求此时
的值.

解：（1）
……………………………………………………2分

……………………………………………4分

…………………………………6分

（2）令
…………………………………………………………8分

……………10分

，（当且仅当
时，即
，等号成立）…12分

当
时，搜索区域面积
的最大值为
（平方海里）

此时，
…………………………………………………………14分

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分
.

（文）已知定义在
上的函数
，对任意正整数
、
，都有
，且
.

（1）若对任意正整数
，有
，求
、
的值，并证明
为等比数列；

（2）若对任意正整数
，
使得不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

解：（1）令
，得
，

则
，
…………………………………………………………1分

令
，得
，则
，
……2分

令
，得
，

即
， ………………
……………………………………………4分

则
，

所以，数列
是等比数列，公比
，首项
. …………………………6分

（2）令
，得
，即

则
是等差数列，公差为2，首项
.

故
. …………………………………………………8分

设
，则

当
时，
，即

当

时，
，即
时，
是递减数列.

所以，
………………………………………………………………11分

从而
，即
…………………………………………12分

则
，解得
．……………………………………………………14分

22. （本题满分16分）本
题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.

（文）定义区间
，
，
，
的长度均为
，其中
．

（1）已知函数
的定义域为
，值域为
，写出区间
长度的最大值与最小值.

（2）已知函数
，将函数
的图像的每点横坐标缩短到原来的
倍，然后向左平移
个单位，再向上平移
个单位，得到函数
的图像，区间
（
且
）满足：
在
上至少含有
个零点，在所有满足上
述条件的
中，求区间
长度的最小值．

（3）已知函数
的定义域为实数集
,满足
(
是
的非空真子集) . 集合
,
,求
的值域所在区间长度的总和． [来源:学科网ZXXK]

解：（1）
，解得
或
，

，解得
，……………………2分

画图可得：区间
长度的最大值为
，最小值为
. …………………4分

（2）
……………………………6分

或
，

即
的零点相离间隔依次为
和
， …………………………………………8分

故若
在
上至少含有
个零点，则
的最小值
为

．…………………………………………………………10分

（3）
…………………………………………………12分

当
，
，………………………………………………………13分

当
，
，……………………………………………………14分

所以
时，
……………………………………15分

所以值域区间长度总和为
。 ……………………………………………………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.

（文）已知中心在原点
，左焦点为
的椭圆
的左顶点为
，上顶点为
，
到直线
的距离为
.

(1) 求椭圆
的方程；

(
2) 过
的直线
交椭圆
于
、
两点，交直线
于
点，若
是
、
的等比中项，
求直线