静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试数学试卷

文科

（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4

一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.二阶行列式
的值是 . （其中为虚数单位）

2. 已知
是方向分别与轴和轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量
的模等于 .

3．二项式
的展开式中含
项的系数值为_______________.

4.已知圆锥的母线长为
,侧面积为
,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留)

5.已知集合
，
，则
.

（文）若
，则方程
的解是_____________.

9．

（文）满足约束条件
的目标函数
的最小值为_______.

10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .

11．

（文）在平面直角坐标系
中，若中心在坐标原点的双曲线过点
，且它的一个顶点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的方程为 .

12．

（文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．

13.

（文）若三个数
成等差数列（其中
），且
成等比数列，则
的值为 ．

14．

（文） 函数
的定义域为实数集，
对于任意的
都有
.若在区间
上函数
恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是 .

二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15.

（文） 不等式
的解集为……………………………………………（ ）.

16．“
”是“函数
的最小正周期为”的…………（ ）.

充分必要条件
充分不必要条件

必要不充分条件
既不充分又必要条件

17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为
、
,则
:
=………………………………………………………………（ ）.

1:1
2:1
3:2
4:1

18.

（文）已知向量
，
满足：
，且
（
）．则向量
与向量
的夹角的最大值为 ……………………………… （ ）.

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

（文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示．设两条异面直线
和
所成的角为
，求
的值．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧
、弧
以及两条线段
和
围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧
所在圆的半径为10米．设小圆弧
所在圆的半径为米（
），圆心角为弧度．

（1）求关于的函数关系式；

（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，当为何值时，取得最大值？

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分

（文）已知椭圆

的右焦点
，长轴的左、右端点分别为
,且
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过焦点斜率为
（
）的直线交椭圆
于
两点，弦
的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆
上是否存在点使得四边形
为菱形？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

（文）已知数列
满足
（为常数，
）

（１）当
时，求
；

（２）当
时，求
的值；

（3）问：使
恒成立的常数是否存在？并证明你的结论．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

（文）设函数
，
.

（1）解方程：
；

（2）令
，求证：

；

（3）若
是实数集上的奇函数，且

对任意实数恒成立，求实数
的取值范围.

四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答

参考答案及评分标准 2014.04

说明

1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．

4．给分或扣分均以1分为单位．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

理1．2； 2．

3．35； 4．

5．
；6．

7.
； 8．

9．
（为参数）；10.

11．

12．3．

13.

14．

文1．2； 2．

3．35； 4．

5．
；6．

7.
； 8．

9．
； 10.

11.
； 12．

13．当
时，
；

当
时，
舍去．

14.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15．D；16．B；17．C；18．理D；文A

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

19．（理）
. (1) 证明方法一：四边形是平行四边形，
平面

，又
，
，

平面
.

方法二：证得
是平面
的一个法向量，
平面
.

(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面
一个法向量为
，

又平面
法向量为
，所以

所求二面角的余弦值为
.

（文）由
，且
，可知
，

故
为异面直线
、
所成的角（或其补角）．

由题设知
，
，

取
中点，则
，且
，

．

由余弦定理，得

．

20．(1)设扇环的圆心角为(，则
，

所以
，

(2) 花坛的面积为

．

装饰总费用为
，

所以花坛的面积与装饰总费用的比
，

令
，则
，当且仅当t=18时取等号，

此时
．

答：当
时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．

21．理（1）依题意不妨设
，
，则
，
.

由
，得
.

又因为
，

解得
.

所以椭圆
的方程为
.

（2）依题意直线的方程为
.

由
得
.

设
，
，则
，
.

所以弦
的中点为

.

所以

.

直线
的方程为
，

由
，得
，则
，

所以
.

所以

.

又因为
，所以
.

所以
.

所以
的取值范围是
.

（文）（1）依题设
，
，则
，
.

由
，解得
，所以
.

所以椭圆
的方程为
.

（2）依题直线的方程为
.

由
得
.

设
,
,弦
的中点为
，

则
，
，
，
，

所以
.

直线
的方程为
，

令
，得
，则
.

若四边形
为菱形，则
，
.

所以
.

若点在椭圆
上，则
.

整理得
，解得
.所以椭圆
上存在点使得四边形
为菱形.

22．理（1）
，
，

（2）
，
．

因为
，

所以，
，

．

=
．

（3）因为
是实数集上的奇函数，所以
.

，
在实数集上单调递增.

由
得
，又因为
是实数集上的奇函数，所以，
，

又因为
在实数集上单调递增，所以

即
对任意的
都成立，

即
对任意的
都成立，
.

（文）（1）

（2）　
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，

，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由
有