上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模）

数学试卷（文科）

（时间120分钟，满分150分）

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、已知集合
，
，则
．

2、
．

3、函数
（
）的最大值等于 .

4、在
中，已知
，则最大角等于 ．

5、已知函数
是函数

且
）的反函数，其图像过点
，则

．

6、复数满足
，则复数的模等于__________．

7、已知
，
，则
．

8若正三棱柱的主视图如图所示，则此三棱柱的体积等于 ．

9、已知
关于的展开式中，二项式系数和等于512，则展开式的系数之和为 .

10、抛物线
的焦点与双曲线
的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 .

11、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是 ．

12、等差数列
的通项公式为
，下列四个命题．
：数列
是递增数列；
：数列
是递增数列；
：数列
是递增数列；
：数列
是递增数列．其中真命题的是 ．

13、对于数列
，规定
为数列
的一阶差分数列，其中
．

对于正整数，规定
为
的阶差分数列，其中
．若数列
的通项
，则
．

14、如图
是直角边等于4的等腰直角三角形，是斜边
的中点，
，向量
的终点
在
的内部（不含边界），则实数的取值范围是 ．

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、已知
“
”；
“直线
与圆
相切”．则是
的（ ）

充分非必要条件
必要非充分条件
充要条件
既非充分也非必要条件

16、若函数
在区间
上存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）

或

17、设
是半径为的球面上的四个不同点，且满足
，
，
，用
分别表示△
、△
、△
的面积，则
的最大值是（ ）.

2
4
8

18、已知数列
是首项为
，公差为
的等差数列，若数列
是等比

数列，则其公比为（ ）

三、解答题（满分74分）

19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点
是母线
的中点，
是底面圆的直径，半径
与母线
所成的角的大小等于
．

（1）求圆的侧面积和体积．

（2）求异面直线
与
所成的角；

20、（本题满分14分）已知函数
，其中为常数．

（1）求函数
的周期；

（2）如果
的最小值为
，求的值，并求此时
的最大值及图像的对称轴方程.

21、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少
万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列
，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列
，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．

22、（本题满分16分）我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：

已知抛物线

上的点
到焦点的距离等于4，直线
与抛物线相交于不同的两点
、
，且
（
为定值）．设线段
的中点为，与直线
平行的抛物线的切点为
．.

（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；

（2）用
、
表示出
点、点的坐标，并证明
垂直于轴；

（3）求
的面积，证明
的面积与
、
无关，只与
有关.

23、（本题满分18分）函数
的定义域为，若存在常数
，使得
对一切实数均成立，则称
为“圆锥托底型”函数．

（1）判断函数
，
是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．

（2）若
是“圆锥托底型” 函数，求出
的最大值．

（3）问实数
、
满足什么条件，
是“圆锥托底型” 函数．

上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模）

数学答案（文科）

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、
； 2、
； 3、4； 4、
； 5、
；

6、
； 7、3； 8、
； 9、
； 10、
；

11、
； 12、
，
； 13、
； 14、
；

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、； 16、
； 17、； 18、；

三、解答题（满分74分）

19、(12分) 解：（1）圆锥的侧面积
．

，

…………4分

（2） 连
，过
作
交
于点，连
．

又，
．又
．

，
等于异面直线
与
所成的角或其补角．

，
或
．……………9分

当
时，
．
，

当
时，
．
，

综上异面直线
与
所成的角等于
或
．………………12分

20、（14分）解（1）
．…………4分

.……………………6分

（2）
的最小值为
，所以
故
…………8分

所以函数
.最大值等于4……………………10分

，即
时函数有最大值或最小值，

故函数
的图象的对称轴方程为
.………………14分

21、（14分）解：（1）




9


8.5

…………







3


4.5


6.75

…………



………………………………2分

当
且
，
；

当
且
，
．

……………………5分

而
，
………………8分

（2）
……………………10分

……………………13分

从2013年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张．……………………14分

22、（16分）解：（1）
，得
，抛物线方程为
．…………2分

焦点坐标
，准线方程为
．…………4分

（2）由
，得
，

点
…………………………6分

设切线方程为
，由
,得
，
，切点的横坐标为
，得
…………8分

由于
、的横坐标相同，
垂直于轴．……………………10分

（3）
，
．………12分

．……………………15分

的面积与
、
无关，只与
有关．………………16分

（本小题也可以求
，切点到直线
的距离
，相应给分）

23、（18分）解：（1）．
，即对于一切实数使得
成立，
“圆锥托底型” 函数．…………………………2分

对于
，如果存在
满足
，而当
时，由
，
，得
，矛盾，
不是“圆锥托底型” 函数．……………5分

（2）
是“圆锥托底型” 函数，故存在
，使得
对于任意实数恒成立．

当
时，
，此时当
时，
取得最小值2，
．…………………………9分

而当
时，
也成立．

的最大值等于．……………………10分

（3）①当
，
时，
，无论
取何正数，取
，则有
，

不是“圆锥托底型” 函数．………………12分

②当
，
时，
，对于任意有
，此时可取

是“圆锥托底型” 函数．………………14分

③当
，
时，
，无论
取何正数，取
．有
，
不是“圆锥托底型” 函数．………………16分

④当
，
时，
，无论
取何正数，取
，有
，
不是“圆锥托底型” 函数．

由上可得，仅当
时，
是“圆锥托底型” 函数．…………18分