北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（理工类）

2014．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知集合
，集合
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）如果
，那么下列不等式一定成立的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为
，则输入的正整

数
的可能取值的集合是

（A）

（B）

（C）

（D）

（4）已知函数
的

部分图象如图所示，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）已知命题
：复数
在复平面内所对应的点位于第四象限；命题
：
，
，则下列命题中为真命题的是

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）若双曲线
的一条渐近线与圆
至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．

煤（吨）

电（千度）

纯利润（万元）




箱甲产品










箱乙产品











若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过
吨，电不超过
千度，则可获得的最大纯利润和是

（A）
万元 （B）
万元 （C）
万元 （D）
万元

（8）如图放置的边长为
的正△
沿边长为
的正方形
的各边内侧逆时针方向

滚动．当△
沿正方形各边滚动一周后，回到初始位

置时，点
的轨迹长度是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

（9）已知平面向量
，
满足
，
，
与
的夹角为
，则
____．

（10）
的展开式中
项的系数为___．（用数字表示）

（11）如图，
为圆
的直径，
,过圆
上一点
作圆
的切线，交
的延长线于点
，过点
作
于点
，若
是
中点，则
=_____．

（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．

（13）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
；

数列
的前
项和为 ．

（14）若存在正实数
，对于任意
，都有
，则称函数
在
上是有界函数．下列函数

①
； ②
； ③
； ④
，

其中“在
上是有界函数”的序号为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题满分13分）

在△
中，角
，
，
的对边分别是
，
，
，且
，
，△

的面积为
．

（Ⅰ）求边
的长；

（Ⅱ）求
的值．

（16）（本小题满分13分）

某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于
小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段
，
，
，

，
（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计

从全市高中学生中任意选取一人，其参

加社区服务时间不少于90小时的概率；

（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记
为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量
的分布列和数学期望
．

（17）（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
底面
，
，
分别为
，
中点，
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
，使

平面
？若存在，指出点
的

位置；若不存在，说明理由．

（18）（本小题满分13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）设
，当
时，都有
成立，求实数
的取值范围．

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）是否存在与椭圆
交于
两点的直线
：
，使得
成立？若存在，求出实数
的取值范围，若不存在，请说明理由.

（20）（本小题满分13分）

已知
，
是函数
的两个零点，其中常数
，
，设

．

（Ⅰ）用
，
表示
，
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）求证：对任意的
．

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（理工类）

2014．5

一、选择题（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

C

D

D

A

C

B



二、填空题（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案















②③



三、解答题（满分80分）

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
得，
．

所以
．

由
得，
，

所以
． ……………7分

（Ⅱ）由
得，
，

所以
．

所以
． ……………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）根据题意，

参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人），

参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人）．

所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为
人．

所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的

概率估计为
……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为

由已知得，随机变量
的可能取值为
．

所以
；

；

；

．

随机变量
的分布列为

0

1

2

3















 因为
~
，所以
． ……………13分

17．（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）如图，连结
．

因为底面
是正方形，

所以
与
互相平分．

又因为
是
中点，

所以
是
中点．

在△
中，
是
中点，
是
中点，

所以
∥
．

又因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
． ……………4分

（Ⅱ）取
中点
．在△
中，因为
，

所以
．

因为面
底面
，

且面
面
，

所以
面
．

因为

平面

所以
．

又因为
是
中点，

所以

．

如图，以
为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系．

因为
，所以
，则
，
，
，