北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）

数 学 （理科） 2014.5

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.
的值为

A．
B．
C．
D．

2.已知命题
“
，有
成立”，则
为

A.
，有
成立 B.
，有
成立

C.
，有
成立 D.
，有
成立

3. 执行如图所示的程序框图，若输出的
为4，则输入的
应为

A.-2 B.16 C.-2或8 D. -2或16

4. 在极坐标系中，圆
的圆心到极轴的距离为

A．
B.
C.
D.

5.已知
是不等式组
表示的平面区域内的一点，
，
为坐标原点，则
的最大值

A.2 B.3 C.5 D.6

6.一观览车的主架示意图如图所示，其中
为轮轴的中心，距地面32m（即
长），巨轮的半径为30m，

m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点
为吊舱
的初始位置，经过
分钟，该吊舱
距离地面的高度为
m，则
=

A.
B.

C.
D.

7.已知等差数列
单调递增且满足
，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8.已知点
分别是正方体
的棱
的中点，点
分别是线段
与
上的点，则满足与平面
平行的直线
有

A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 满足不等式
的
的取值范围是________.

10.已知双曲线
的一条渐近线为
，则双曲线的离心率为________.

11.已知
的展开式中
的系数是10，则实数
的值是

12.已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.

13. 已知
是曲线
的两条互相平行的切线，则
与
的距离的最大值为_____.

14.已知集合
，
是集合
的非空子集，把集合
中的各元素之和记作
.

①满足
的集合
的个数为_____；②
的所有不同取值的个数为_____.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

在锐角
中，
且
.

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）若
，求
的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱
中，
底面
，
，
，
分别是棱
，
的中点，
为棱
上的一点，且
//平面
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

17.（本小题满分13分）

某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：

车尾号

0和5

1和6

2和7

3和8

4和9



限行日

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五





现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立.

(Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率；

(Ⅱ)设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X).

18.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
值域；

（Ⅱ）当
时，求函数
的单调区间.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆
的离心率为
，其短轴两端点为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若
是椭圆
上关于
轴对称的两个不同点，直线
与
轴分别交于点
.判断以
为直径的圆是否过点
，并说明理由.

20.（本小题满分13分）

对于自然数数组
，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果
的极差
，可实施如下操作
：若
中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若
中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为
，其级差为
.若
，则继续对
实施操作
，…，实施
次操作后的结果记为
，其极差记为
.例如：
，
.

（Ⅰ）若
，求
和
的值；

（Ⅱ）已知
的极差为
且
，若
时，恒有
，求
的所有可能取值；

（Ⅲ）若
是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在
满足
.

数学（理科）参考答案

2014.5

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.A 2.C 3.D 4.A. 5.D 6.B 7.C 8.D

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.
{或
} 10.
11.1 12.2 13.

14.6，5050{本题第一空3分，第二空2分}

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.

15.解：

（Ⅰ）由正弦定理可得
----------------------------2分

因为

所以
---------------------------5分

在锐角
中，
---------------------------7分

（Ⅱ）由余弦定理可得
----------------------------9分

又因为

所以
，即
-------------------------------11分

解得
-------------------------------12分

经检验，由
可得
，不符合题意，

所以
舍去.--------------------13分

16.解：

（Ⅰ）因为
平面

又
平面
，平面
平面
，

所以
. ---------------------------------3分

因为
为
中点，且侧面
为平行四边形

所以
为
中点，所以
.------------------------4分

（Ⅱ）因为
底面
，

所以
，
， ----------------------------------5分

又
，

如图，以
为原点建立空间直角坐标系
，设
，则由
可得
-----------------------------6分

因为
分别是
的中点，

所以
. -----------------------------7分

.--------------------------------8分

所以
，

所以
. --------------------------------9分

（Ⅲ）设平面
的法向量
，则

即
--------------------------10分

令
，则
，所以
.--------------------------11分

由已知可得平面
的法向量
-------------------------------11分

所以
--------------------------------13分

由题意知二面角
为钝角，

所以二面角
的余弦值为
.--------------------------------14分

16.解：

（Ⅰ）设
车在星期
出车的事件为
，
车在星期
出车的事件为
，

由已知可得

设该单位在星期一恰好出一台车的事件为
，-------------------------------1分

因为
两车是否出车相互独立，且事件
互斥 ----------------2分

所以

--------------------------4分

所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为
. --------------------------5分

{答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}

（Ⅱ）
的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分

----------------------------10分

所以
的的分布列为

0

1

2

3















--------------11分

-------------------------------13分

18.解：

（Ⅰ）当
时，

--------------------------------1分

由
得
--------------------------------------2分

的情况如下













0









0









0















 --------------------------------------------------4分

因为
，
，

所以函数
的值域为
. ---------------------------------------------------5分

（Ⅱ）
，

①当
时，
的情况如下





















0









0













0



0



















 -------------------------------------------------9分

所以函数
的单调增区间为
，单调减区间为
和

②当
时，
的情况如下























0









0















 ------------------------------------------------13分

所以函数
的单调增区间为
，单调减区间为
.

19.解:

（Ⅰ）由已知可设椭圆
的方程为：
.-------------------------------1分

由
，可得
,-----------------------------------------------------2分

解得
, ----------------------------------------------3分

所以椭圆的标准方程为
. ------------------------------------------4分

（Ⅱ）法一：

设
且
，则
. ----------------------------------------5分

因为
,

所以直线
的方程为
. ----------------------------------------6分

令
，得
，所以
. ------------------------------------7分

同理直线
的方程为
，求得
.-----------------------8分

-----------------------------------------9分

所以

, --------------------------------------10分

由
在椭圆
：
上，所以
,-------------------11分

所以
, -----------------------------13分

所以
,

所以，以线段
为直径的圆不过点
.------------------------------14分

法二：因为
关于
轴对称，且
在
轴上

所以
. ------------------------------------------5分

因为
在
轴上，又
关于
轴对称

所以
, ------------------------------------------6分

所以
, -------------------------------------------7分

所以
, ------------------------------------------8分

设
且
，则
. ----------------------------------------9分

因为
,----------------11分

所以
, -----------------------------------12分

所以
, ----------------------------------13分

所以，以线段
为直径的圆不过点
. -------------------------------14分

法三：设直线
的方程为
，则
， ---------------------------------5分

化简得到
，

所以
，所以
, -----------------------------6分

所以
,

所以
， ----------------------------7分

因为
关于
轴对称，所以
.----------------------------8分

所以直线
的方程为
，即
.------------------10分

令
，得到
，所以
. --------------------11分

, ----------------------12分

所以
, ----------------------------------13分

所以,以线段
为直径的圆恒过
和
两点.--------------------------14分

{法4 :转化为文科题做，考查向量
的取值}

20.解：

（Ⅰ）
,
,
---------------------------3分

（Ⅱ）法一：

①当
时，则

所以
，
，

由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数
变为最小数
，最小数
和次

小数
分别变为次小数
和最大数
，所以数组的极差不会改变.

所以，当
时，
恒成立.

②当
时，则

所以
或

所以总有
.

综上讨论，满足
的
的取值仅能是2.---------------------8分

法二：

因为
，所以数组
的极差

所以
，

若
为最大数，则

若
，则

若
，则
，

当
时，可得
，即

由
可得

所以

将
代入
得

所以当
时，
（
）

由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数
变为最小数
，最小数
和次小

数
分别变为次小数
和最大数
，所以数组的极差不会改变.

所以满足
的
的取值仅能是2. ---------------------8分

（Ⅲ）因为
是以4为公比的正整数等比数列的三项，

所以
是形如
（其中
）的数，

又因为

所以
中每两个数的差都是3的倍数.

所以
的极差
是3的倍数.------------------------------------------------9分

法1：设
，不妨设
，

依据操作
的规则，当在三元数组
（
，
）中，总满足
是唯一最大数，
是最小数时，一定有
，解得
.

所以，当
时，
.

，

依据操作
的规则，当在三元数组
（
，
）中，总满足
是最大数，
是最小数时，一定有
，解得
.

所以，当
时，
.

，

所以存在
，满足
的极差
.--------------------------------13分

法2：设
，则

①当
中有唯一最大数时，不妨设
，则

，

所以

所以，若
是3的倍数，则
是3的倍数.

所以
，则
，
，

所以

所以
-------------------------------------------11分

②当
中的最大数有两个时，不妨设
，则

，

所以
，

所以，若
是3的倍数，则
是3的倍数.

所以
，则
，

所以
.

所以当
时，数列
是公差为3的等差数列.------------------------------12分

当
时，由上述分析可得
，此时

所以存在
，满足
的极差
.----------------------------------13分