2014年高三质量检测

数学（理）参考答案

一、选择题：（1）-（12）ABDBC CBACA AC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）
，

（14）37 （15）
（16）①②

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解答：

解：（I）当n=1时，
，得
．

当n≥2时，
，

，

两式相减得an=pan﹣1，即
．

故{an}是首项为
，公比为p的等比数列，

∴
．

由题意可得：2a1=6a3+a2，
，

化为6p2+p﹣2=0．

解得p=
或
（舍去）．

∴
=
． --------------------------------------------(6分)

（II）由（I）得
，

则
，

+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，

两式相减得﹣Tn=3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1

=

=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，

∴
． --------------------------------------------（12分）



　

18．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)证明： 因为
平面
，

所以
.

因为
是正方形，

所以
，

所以
平面
,

从而

-----------------（4分）

(Ⅱ)解：因为
两两垂直，

所以建立空间直角坐标系
如图所示.

设
，可知
.

则
,
，
，
，
，
，

所以
，
，

设平面
的法向量为

，则
，即
，

令
，则

.

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以

因为二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
. -----------（8分）

(Ⅲ)解：点
是线段
上一个动点，设
.

则
，

因为
平面
，

所以

，

即
，解得
.

此时，点
坐标为
，
，符合题意. -------------（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设袋中红球的个数为n个，p（ξ=0）=
=
，化简得：n2﹣3n﹣4=0，

解得n=4 或n=﹣1 （舍去），即袋子中有4个红球. ---------------------------------(6分)

（Ⅱ）依题意：X=2，3，4，6，7，10．

p（X=2）=
，p（X=3）=
=
，p（X=4）=
=
，

p（X=6）=
=
，p（X=7）=
=
，p（X=10）=
=
，

X的分布列为：

∴EX=2×
+3×
+4×
+6×
+7×
+10×
=
．----------------------------（12分）



20．（本小题满分12分）

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，

∴x2+x﹣xlnx）≥bx2+2x恒成立?1﹣
﹣
≥b，

令g（x）=1﹣
﹣
，可得g（x）在（0，1]上递减，

在[1，∞）上递增，所以g（x）min=g（1）=0，

即b≤0. ----------------------------------------------（4分）

（Ⅱ）f′（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），

令f′（x）≥0得：2a≥
，设h（x）=
，当x=e时，h（x）max=
，

∴当a≥
时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分）

若0＜a＜
，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣
，

g′（x）=0，x=
，x∈（0，
），g′（x）＜0，x∈（
，+∞），g′（x）＞0，

∴x=
时取得极小值，即最小值．

而当0＜a＜
时，g（
）=1﹣ln
＜0，

f′（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调

∴a≥
.---------------------------------------------------------------（8分）

（Ⅲ）由（I）知g（x）=1﹣
在（0，1）上单调递减，

∴
＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即
＜

而
＜x＜y＜1时，﹣1＜lnx＜0，

∴1+lnx＞0，

∴
＜
.-- ----------------------------------------------------------（12分）



22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（I）证明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，

∴△DEF∽△CED，

∴∠EDF=∠C．

又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，

∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA

∴△EDF∽△EPA．

∴
，∴EA?ED=EF?EP．

又∵EA?ED=CE?EB，

∴CE?EB=EF?EP .-------------------------------------------------（5分）

（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．

∴32=2EC，∴
．

∵CE：BE=3：2，∴BE=3．

由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴
，解得EP=
，

∴BP=EP﹣EB=
．

∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB?PC，

∴
，解得
．----------------------------------（10分）



23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解答：

解：（Ⅰ）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，

所以圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．

直线
，即ρsinθ
﹣ρcosθ
=
，

也就是ρsinθ﹣ρcosθ=1．

则直线l的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．-----------------------（5分）

（Ⅱ）由
，得
．

故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为
．---------------（10分）



　

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|=
，

∵f（x）＞0，

∴①当x＜﹣
时，﹣x﹣4＞0，

∴x＜﹣4；

②当﹣
≤x≤3时，3x﹣2＞0，

∴
＜x≤3；

③当x＞3时，x+4＞0，

∴x＞3．

综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（
，+∞）------------------------（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=
，

∴当x≤﹣
时，﹣x﹣4≥﹣
；

当﹣
＜x＜3时，﹣
＜3x﹣2＜7；

当x≥3时，x+4≥7，

综上所述，f（x）≥﹣
．

∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，

∴a＜f（x）﹣3恒成立，

令g（x）=f（x）﹣3，则g（x）≥﹣
．

∴g（x）min=﹣
．

∴a＜g（x）min=﹣
------------------------------------------------（10 分）