2014届江苏省高三年级百校联合调研考试

数学卷（一）

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I卷和第II卷，共200分考试用
时150分钟.

第I卷（必做题 共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

1．已知集合
,
,则
．

2．复数
(i是虚数单位)是纯虚数,则实数
的值为 ．

3．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．

4．某算法的伪代码如图所示,若输出y的值为1,则输入
的值为 ．

5．已知双曲线
的右焦点为
，则该双曲线的渐近线方程为________.

6．已知
，则
________.

7.已知正三棱柱底面边长是2，，外接球的表面积是
，则该三棱柱的侧棱长 ．

8. 在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则不等式x⊙(x－2)＜0的解集是 ．

9．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为
,又

表示集合的元素个数,
,则
的概率为

10．函数
的所有零点之和为 ．

11．如图，
是半径为1的圆
的直径，△ABC是边长为1的正三角形，则
的最大值为 ．

12. 已知数列
的首项
，其前
和为
，且满足
．若对任意的
，
恒成立，则
的取值范围是 ．

13. 已知圆
，点
在直线
上，若过点
存在直线
与圆
交于
、
两点，且点
为
的中点，则点
横坐标
的取值范围是 ．

14．记实数
中的最大数为
，最小数为
.已知实数
且三数能构成三角形的三边长，若
，则
的取值范围是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)已知
，
，其中
，函数
的最小正周期为
.

(1)求
的单调递增区间；

(2)在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
．且
，
，求角
、
、
的大小．

16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥
中，
，
，
分别是
，
的中点．

求证：（1）
∥平面
；

（2）平面
⊥平面
．

17. (本小题满分14分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间
（秒）的变化规律大致可用
（
为时间参数，
的单位：
）来描述，其中地面可作为
轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为
轴。

（1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；

（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

18. (本小题满分16分)如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以
椭圆
的左顶点
为圆心作圆
：
，设圆
与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的最小值，并求此时圆
的方程；

（3）设点
是椭圆
上异于
,
的任意一点，且直线
分别与
轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值． [来源:Z.xx.k.Com]

19. (本小题满分16分)已知数列
满足下列条件：①首项
；

②当
时，
；③当
时，

（I）当
，求首项
之值；

（II）当
时，求
；

（III）试证：正整数3必为数列

中的某一项；

20. (本小题满分16分) 已知函数
(
)，其图像在
处的切线方程为
．函数
，
．

(Ⅰ)求实数
、
的值；

（Ⅱ）以函数
图像上一点为圆心，2为半径作圆
，若圆
上存在两个不同的点到原点
的距离为1，求
的取值范围；

（Ⅲ）求最大的正整数
，对于任意的
，存在实数
、
满足
，使得
．

第Ⅱ卷（附加题 共40分）

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A．选修4—1　几何证明选讲

如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点
，若四边形BCON是平行四边形.求AM的长；

解析：连接
，则
，因为四边形
是平行四边形，所以
∥
，因为
是⊙O的切线，所以
，可得
，又因为
是
的中点，所以
，得
，故
.

B．选修4—2　矩阵与变换

已知二阶矩阵M有特征值
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点
变换成
，求矩阵M。

解析：设矩阵
，则由条件得
，从而
，

又
，从而
，联立，解之得
,

故

C．选修4—4　参数方程与极坐标

已知曲线
的极坐标方程是
，直线的参数方程是
（为参数）．

设直线与
轴的交点是
,
是曲线
上一动点,求
的最大值.

解析：曲线
的直角坐标方程为
，故圆
的圆心坐标为(0,1)，半径

直线l的直角坐标方程
, 令
,得
,即
点的坐标为(2,0).

从而
,所以
.即
的最大值为
。

[来源:Zxxk.Com]

D．选修4—5　不等式证明选讲

已知
，且
，求
的最小值．

解析：
,
,

,

， 当且仅当
，或
时

的最小值是1.

22．(本小题满分10分)如图，
是直角梯形，∠
＝90°，
∥
，
＝1，
＝2，又
＝1，∠
＝120°，
⊥
，直线
与直线
所成的角为60°.

(Ⅰ)求二面角
的的余弦值；

（Ⅱ）求点
到面
的距离.

(Ⅰ)∵
∴
．

在平面
内，过
作
，建立空间直角坐标系
（如图）

由题意有
，设
，

则

由直线
与直线
所成的解为
，得
，

即
，解得

∴
，设平面
的一个法向量为
，

则
，取
，得
，平面
的法向量取为

设
与
所成的角为
，则
．

显然，二面角
的平面角为锐角，故二面角
的余弦值为
．

………………5分

（Ⅱ）
，
，
，
，
．

设平面
的一个法向量
，则
，

取
，得
，则点
到平面
的距离
．

………………10分

23．(本小题满分10分)已知二项式
的展开式中第2项为常数项
，其中

，且展开式按
的降幂排列．

(Ⅰ)求
及
的值．

(Ⅱ)数列
中，
，
，
，求证：
能被4整除．

数学试卷一参考答案及评分标准：

1．答案：
,解析：
，所以

.

2．答案：4 解析：因原式=
，故
，
[来源:学科网]

3．答案：25 解析：
从频率分布直方图可知，

月收入从1000至4000的人数依次是

1000、2000、2500、2500、150
0、500，从而所求人数是
。

4．答案：-1或2014

解析：根据题意可知，当
时，由
得

当
时，由
得
，综上所述，输入
的值为-1或2014。

5．答案：
，解析：由条件得
，
，从而双曲线方程为
，故渐近线方程为
。[来源:学科网ZXXK]

6．答案：
解析：由条件得
，从而

7．答案：
解析
该三棱柱外接球的表面积是
，

该球的半径R=2,又正三棱柱底面边长是2，

底面三角形的外接圆半径
，

该三棱柱的侧棱长是
.

8．答案：
解析：由定义可知，原不等式可化为
，解之得
。

9．答案：
解析：由
知,函数
和
的图像有四个交点,所以
的最小值
, ,所以
的取值是
.又因为
的取值可能是
种,故概率是
。

10．答案：8

解析：设
，则
，原函数可化为