东莞市2014届高三理科数学模拟试题(二)

命题：胡佐华 审稿与校对：李名泰

一、选择题：

1. 已知全集
,集合
和
集合
中的元素共
有( )

A．
个 B．
个 C．
个 D．无穷多个[来源:学.科.网]

2. 若复数
是纯虚数,则实数
的值为( )

A．
B．
C．
D．
或

3. 已知等差数列
的前
项和为
,且
,
,则该数列的公差
( )

A．
B．
C．
D．

4. 已知抛物线
(
)的准线与圆
相切,则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

5. 若向量
，
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 已知平面
、
和直线
,给出条件:①
；②
；③
；④
；⑤
.由这五个条件中的两个同时成立能推导出
的是( )

A．①④ B．①⑤ C．②⑤ D．③⑤

7. 若变量
满足约束条件
,则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

8. 对任意实数
,定义运算
,其中
是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知
,
,并且有一个非零常数
,使得
,都有
,则
的值是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：

(一)必做题(9～13题)

9. 一个三棱锥的正视图和侧视
图及其尺寸如图
所示(均为

直角三角形)，则该三棱锥的俯视图的面积为 .

10. 二项式
的展开式中常数项为_______.

11．
执行如图2的程序框图，输出的
．

12. 已知函数
,则
的值

等于 .

13. 已知
的内角
的对边分别为
，

且
,则
的面积等

于________.

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题

全答的,只计前一题的得分）

14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线
的方程是
，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线

的方程是
.如果直线
与
垂直，则常数
．

15.(几何证明选讲选做题)如图3,在
中,

,

,[来源:学科网]

若
,
,
,则
的长为________．

三、解答题：

16．(本题满分12分)设函数
,
．

(1) 若
,求
的最大值及相应的
的取值集合；

（2）若
是
的一个零点,且
,求
的值和
的最小正周期.

17．(本题满分12分) 某地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为
，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中：

（1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率；

（2）求成活的棵树
的分布列与期望.

18.(本题满分14分)如图4,在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧面

底面
,且
,
、
分别为
、
的中点.

(1) 求证:
平面
；

(2) 求证:面

平面
；

(3) 在线段
上是否存在点
,使得二面角

的余弦值为
?说明理由.

19.(本题满分14分)设数
满足：
．

(1)求证：数列
是等比数列；

(2)若
，且对任意的正整数n，都有
，求实数t的取值范围．

20.(本题满分14分
)已知定点
,
,动
点
,且满足
成等差数列.

(1) 求点
的轨迹
的方程；

(2) 若曲线
的方程为
(
),过点
的直线
与曲线
相切,求直线
被曲线
截得的线段长的最小值.

21.(本题满分14分) 已知函数
满足如下条件：当
时，
，且对任意
，都有
．

（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；

（2）求当
，
时，函数
的解析式；

（3）是否存在
，
，使得等式
成立？若存在就求出
（
），若不存在，说明理由．

东莞市2014届高三理科数学模拟试题(二)

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分[来源:Zxxk.Com]

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

B

C

A

D

C

D



二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

9．
； 10．
； 11．3； 12．
； 13.
；
14．
； 15.

三、解答题:本大题共6小
题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．【解析】(1)

当
时,
，

而
,所以
的最大值为
,

此时
,
,即
,
,

∴
取最大值
时相应的
的集合为

（2）依题意
,即
,
,

整理,得
,

又
,所以
,
,

而
,所以
,
,所以
,
的最小正周期为
.

17.【解析】（1）设
表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵”

设
表示“银杏树成活
棵”；
；
；

表示“梧桐树成活
棵”；
；
；
；

（2）
可能的取值：

；
；

同理：
；
；
；

∴
的分布列为：

0

1

2

3

4

5



















∴

18.【解析】(1)证明:连结
，由正方形性质可知,
与
相交于
的中点
,

也为
中点,
为
中点.

所以在
中,
//

又

平面
,
平面
,

所以
平面

(2)证明:因为平面

平面
, 平面

面

为正方形,
,
平面
,所以
平面
.

又
平面
,所以
.

又
,所以
是等腰直角三角形,且
,即
.

又
,且
、

面
,所以
面
.

又
面
, 所以面
面

(3) 取
的中点
,连结
,
,因为
,所以
.

又侧面

底面
,平面
平面
, 所以
平面
,

而
分别为
的中点,所以
,又
是正
方形,故
,[来源:学.科.网Z.X.X

以
为原点,建立空间直角坐标系
,

则有
,
,