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广东省揭阳市2014届高三4月第二次模拟

数学(文科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

参考公式：

棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

一、选择题：

1.已知（1＋i）（1－mi）是实数
是虚数单位），则实数
的值为

A.
B.1 　　C. －1 D. 0

2、某校有男、女生各500名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是??（　　）

A．抽签法　　　　　B．随机数法　　　　 　C．系统抽样法　　　D．分层抽样法

3．设全集
，
，则

A．
B．
∪
C．［－1,1］ D．

4、下列函数中，既是偶函数又在区间（0，
）上存在零点的是

　A、
　　　　　B、
　　　　　　C、
　　　D、

5．已知等差数列
中,
,前7项和
,则
等于

A.18 B. 20 C.24 D. 32

6．已知命题
：函数
是最小正周期为
的周期函数，命题

：函数
在
上单调递减，则下列命题为真命题的是

A.
B.
C.
D.

7、在平面直角坐标系中，O（0,0），P（6,8），将向量
按逆时针旋转
后，得向量
，则点Q的坐标是

　A、（－8，6）　B、（－6,8）　　C、（6,－8）　　　D、（8，－6）

8．运行如图1的程序框图，则输出s的结果是

A.
B.
C.
D.

　　

9、已知一棱锥的三视图如图2所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为

　A、8　　　　　　　　B、16　　　　　　　　C、32　　　　　　　　D、48

10．若曲线y＝x2上存在点（x，y）满足约束条件
，则实数m的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（11－13题）

11．若
，则
＝ ．

12．过点(2，1)作圆
的弦，其中最短的弦长为 ．

13、某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x

6

8

10

12



y

2

3

5

6



根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
中的
的值为
，则记忆力为14的同学的判断力约为＿＿＿＿＿＿

（附：线性回归方程
中，
，其中
，
为样本平均值)

（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）

14．(坐标系与参数方程选做题)[在极坐标系中，过点
引圆

的一条切线，则切线长为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图（3），
是圆O的切线，切点为
，

交圆
于
两点，且
则
的长为 .

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，已知
且
．

（1）求角B和
的值；

（2）若
的边
，求边AC的长．

17. （本小题满分12分）

下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良．

日期编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10



空气质量指数（AQI）

179

40

98

124

29

133

241

424

95

89



“PM2.5”24小时平均浓度（
）

135

5

80

94

80

100

190

387

70

66



（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；

（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M为“抽取的两个日期中，当天‘PM2.5’的24小时平均浓度不超过75
”，求事件M发生的概率；

18．（本小题满分14分）

如图4，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB＝90°，

∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝
，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1

的中点．

（1）求证：PN//平面ABC；

（2）求证：A1M ⊥AB1C1；

（3）求点M到平面AA1B1的距离．

19．（本小题满分14分） 图4

已知抛物线的方程为
，直线
的方程为
，点A
关于直线
的对称点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知
，求过点P及抛物线与x轴两个交点的圆的方程；

（3）已知点
是抛物线的焦点，
，M是抛物线上的动点，求
的最小值及此时点M的坐标；

20．（本小题满分14分）

已知函数f（x）＝ax＋lnx（a＜0）

（1）若当
时，函数f（x）的最大值为－3，求a的值；

（2）设
，若函数g（x）在（0，
）上是单调函数，求a的取值范围。

21．（本小题满分14分）

已知等比数列
满足：
公比
，数列
的前
项和为
，且
（
）.

（1）求数列
和数列
的通项
和
；

（2）设
，证明：
.

数学(文科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：BDCCA DABBD

解析：

9.该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，依题意得
.

10.结合图形易得m的取值范围为m
，故选D.

二、填空题： 11．
，12．
，13．
，14．
，15.
.

解析：

14.把A点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得
，圆
，A点到圆心的距离为6，半径为2，所以切线长为
．

15.由
可得:
由已知
,可解得
,所以圆直径为3,又由
可解得
．

三.解答题：

16.解（1）由

，

得
且
--------1分

可得


---------------------------------------2分

---------------------------------3分

---------------------------------------------------------5分

∵

--------------------------------------------------------6分

∵在△ABC中，

∴

--------------------------------------------------------7分
------------------------------------------------------9分

（2）在△ABC中，由正弦定理得：
，---------------------------------10分

∴
．------------------------------------------------12分

17．解：（1）由上表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期编号为：

A2 、A3 、A5 、A9 、A10共5天，------------------------------------------------2分

故可估计该市当月某日空气质量优良的概率
．-----------------------------4分

(2)在表示空气质量为优良的日期A2、A3、A5、A9、A10中随机抽取两个的所有可能的情况为：

{ A2，A3}，{ A2，A5}，{ A2，A9}，{ A2，A10}，{ A3，A5}，{ A3，A9}，{ A3，A10}，{ A5，A9}，{ A5，A10}，{ A9，A10}，共10种；------------------------------------------------8分

两个日期当天“PM2.5”24小时平均浓度小于75
的有： { A2，A9}，{ A2，A10}，

{ A9，A10}，共3种；-----------------------------------------------------------10分

故事件M发生的概率
．------------------------------------------12分

18. （1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P，--1分

∵N为AB1的中点，∴PN//AC,---------------------------2分

∵
面
，
面
,

∴PN//平面ABC. --------------------------------------4分

（2）证法一：连结AC1，在直角ΔABC中，

∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴ AC＝A1C1＝
-----------------------------------5分

∵

=
，

∴
--------------------------------------------------------7分

∴
，

∴AC1⊥A1M. -------------------------------------------------------------------8分

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，-----------------------------------------------------------9分

∴B1C1⊥A1M，又
，故A1M⊥平面A B1C1，-------------------------11分

【证法二：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴ AC＝A1C1＝
-------------------------------------------------------------5分

设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

∵
,------------------------------------------7分

∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M. -------------------------------------------------------8分

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，-----------------------------------------------------------9分

∴B1C1⊥A1M，又

故A1M⊥面A B1C1，------------------------------------------------------------11分】

（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，

由（2）知B1C1⊥平面AA1CC1

∵
------------------------------------------------------------12分

∴

∴

.

即点M到平面AA1B1的距离为
．----------------------------------------------14分

19．解：(1)设点A(3,-1)关于直线
的对称点为B(x,y),

则
解得
，--------------------------------------------------2分

把点B（1，3）代入
，解得a = 4，

所以抛物线的方程为
---------------------------------------------------4分

（2）令
=0得
，设抛物线与x轴的两个交点从左到右

分别为C、D，则C
D
，---------------------------------------------5分

显然△PCD是Rt△，所以PC为所求圆的直径，由此可得圆心坐标为
，

圆的半径
，----------------------------------------7分

故所求圆的方程为
；（其它解法请参照给分）--8分

（3）∵
是抛物线的焦点，（0，-1）是抛物线的顶点，

∴抛物线的准线为
，--------------------------9分

过点M作准线的垂线，垂足为A,由抛物线的定义知
,

∴
=
,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，-----11分

即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，
取最小值，

∴
，------------------------------------------13分

这时点M的坐标为
．----------------------------------