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广东省揭阳市2014届高三4月第二次模拟

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，
，则

A．
B．
C．
D．

2.已知

是虚数单位），则实数
的值为

A.
B.1 C. 2 D.

3．已知等差数列
中,
,前7项和
,则
等于

A.18 B. 20 C.24 D. 32

4．运行如图1的程序框图，则输出s的结果是

A.
B.
C.
D.

5．已知命题
：函数
是最小正周期为
的周期函数，命题

：函数
在
上单调递减，则下列命题为真命题的是

A.
B.
C.
D.

6．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x

6

8

10

12



y

2

3

5

6



根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
中的
的值为
，则记忆力为14的同学的判断力约为（附：线性回归方程
中，
，

其中
，
为样本平均值)

A．7 B．
C．8 D．

7． 若
，则

A．
B．

C．
D．

8．已知点
、
的坐标满足不等式组
，若
，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9．不等式
的解集为 ．

10．
的展开式中
的系数为 ．

11．过点(2，1)作圆
的弦，其中最短的弦长为 ．

12．已知一棱锥的三视图如图2所示，其中侧视图和俯视图都是

等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为 ．

13．已知函数
为偶函数，且
若函数

，则
= ．

（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）

14．(坐标系与参数方程选做题)[在极坐标系中，过点
引圆

的一条切线，则切线长为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图（3），
是圆O的切线，切点为
，

交圆
于
两点，且
则
的长为 .

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，已知
且
．

（1）求角B和
的值；

（2）若
的边
，求边AC的长．

17. （本小题满分12分）

下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良．

日期编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10



空气质量指数（AQI）

179

40

98

124

29

133

241

424

95

89



“PM2.5”24小时平均浓度（
）

135

5

80

94

80

100

190

387

70

66



（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；

（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M为“抽取的两个日期中，当天‘PM2.5’的24小时平均浓度不超过75
”，求事件M发生的概率；

（3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取3天，记
为“PM2.5”24小时平均浓度不超过75
的天数，求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

已知等比数列
满足：
公比
，数列
的前
项和为
，且
（
）.

（1）求数列
和数列
的通项
和
；

（2）设
，证明：
.

19．（本小题满分14分）

如图4，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB＝90°，

∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝
，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1

的中点．

（1）求证：PN//平面ABC；

（2）求证：AB1⊥A1M；

（3）求二面角C1—A B1—A1的余弦值．

20．（本小题满分14分） 图4

已知抛物线的方程为
，直线
的方程为
，点A
关于直线
的对称点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知
，点
是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，求
的最小值及此时点M的坐标；

（3）设点B、C是抛物线上的动点，点D是抛物线与
轴正半轴交点，△BCD是以D为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
（
为常数）．

（1）函数
的图象在点（
）处的切线与函数
的图象相切，求实数
的值；

（2）若
，

、

使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；

（3）当
时，若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数
，
，都有

成立，求
的取值范围．

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：CDAB DBAD

解析：

7.因
，而
，故
，所以选A.

8.设
，由条件知：
、
，
、
，则

，当且仅当点
时上式取得最小值-7，当且仅当点点
时，上式取最大值7.故选D.

二、填空题：9．
;10．-120 ；11．
；12．16，13．2014，14．
，

15.
.

解析：

12. 该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，依题意得
.

13.由函数
为偶函数得
，则
，
，故
.

14．把A点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得
，圆
，A点到圆心的距离为6，半径为2，所以切线长为
．

15由
可得:
,由已知
,可解得
,所以圆直径为3,又由
可解得
．

三.解答题：

16.解（1）由

，

得
且
--------1分

可得


---------------------------------------2分

---------------------------------3分

---------------------------------------------------------5分

∵

--------------------------------------------------------6分

∵在△ABC中，

∴

--------------------------------------------------------7分
------------------------------------------------------9分

（2）在△ABC中，由正弦定理得：
，---------------------------------10分

∴
．------------------------------------------------12分

17.解：（1）由上表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期有：

A2 、A3 、A5 、A9 、A10共5天，------------------------------------------------1分

故可估计该市当月某日空气质量优良的概率
.------------------------------3分

（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75
有编号为A2 、A9 、A10，共3天，-----------------------------------4分

故事件M发生的概率
.---------------------------------------------6分

（3）由（1）知，
的可能取值为1,2,3. --------------------------------------------7分

且
--------------------------------------------------------8分

-----------------------------------------------------------9分

，-----------------------------------------------------------10分

故
的分布列为：

1

2

3















--------------------------------------------------------11分

的数学期望
．-------------------------------------12分

18.(1) 解法一：由
得，

---------------------------------------------------------------2分

由上式结合
得
，

则当
时，

，-----------------4分

-------------------------------------------------------5分

，-------------------------------------------------------7分

∵
，∴
，------------------------------------------------8分

∴数列
是首项为
，公比为4的等比数列，---------------------------9分

∴
，∴
.-----------------------------------------10分

【解法二：由
得，

---------------------------------------------------------------2分

由上式结合
得
，

则当
时，

，-----------------4分

--------------------------------5分

， ------------------------------------------------------6分

∴

，-----------------------------8分

∵
，∴
，------------------------------------------------9分

∴
.---------------------------------------------------------------10分】

(2) 由
得
，------------------------------------------11分

-----------------------------------13分

【或
】

∴
----------------------------------14分

19．（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P，--1分

∵N为AB1的中点，∴PN//AC,-------------------- ---------2分

又∵
面
，
面
,

∴PN//平面ABC. ------------------------------------------3分

（2）证法一：在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴ AC＝A1C1＝
--------------------------------------------------------------4分

∵棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且
，以点C1为

原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则

，
,
,
,
---------------------6分

∴
,
-----------------7分

∵
-----------------------------8分

∴ A1M⊥AB1---------------------------------------------9分

【证法二：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴ AC＝A1C1＝

∵

=
,-----------------------------------4分

∴
---------------------------------5分

，

即AC1⊥A1M. -------------------------------------------6分

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，-----------------------------------7分

∴B1C1⊥A1M，又
，故A1M⊥A B1C1，-------------------------------8分

面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1. -----------------------------------------------9分】

【证法三：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴ AC＝A1C1＝
-------------------------------------------------------------4分

设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

∵
,------------------------------------------5分

∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M. -------------------------------------------------------6分

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，-----------------------------------------------------------7分

∴B1C1⊥A1M，又

故A1M⊥面A B1C1，-------------------------------------------------------------8分

面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1. -----------------------------------------------9分】

（3）解法一：∵棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且
，

以点C1为原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，

依题意得
，
,
,
,
,

,
------------------------------------11分

设面
的一个法向量为

由
得
,令
得
.-----12分

同理可得面
的一个法向量为
------------------------------------13分

故二面角的平面角
的余弦值为

----------------------------------------------14分

【解法二：过C1作C1E⊥A1B1交A1B1于点E，过E作EF⊥AB1交AB1于F，连结C1 F，

∵平面AA1BB1⊥底面A1B1C1，∴ C1E⊥平面AA1BB1，

∴ C1E⊥AB1，∴ AB1⊥平面C1EF，∴ AB1⊥C1F，

故
为二面角C1—A B1—A1的平面角，-------------11分

在
中，
,

,
,----------------12分

又
故
-----------------13分

-----------------------------------------------14分】

20.解：(1)设点A(3,-1)关于直线
的对称点为坐标为
(x,y),

则
解得
---------------------------3分

把点
（1，3）代入
，解得a = 4，

所以抛物线的方程为
---------------------------4分

（2）∵
是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），

∴抛物线的准线为
，------------------------------------------------------5分

过点M作准线的垂线，垂足为A,由抛物线的定义知
,

∴
=
,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，-------7分

即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，
取最小值，

∴
，这时点M的坐标为
．-------------------9分

（3）BC所在的直线经过定点，该定点坐标为
，

令
，可得D点的坐标为

设
，显然
，

则
--------------------------------------10分

-------------------------------------------------11分

∵
，∴
，即

直线BC的方程为

即
--------------------------------13分

所以直线BC经过定点
.---------------------------------------------------14分

21.解：（1）∵
，∴
，
，

∴函数
的图象在点（
）处的切线方程为
，--------------------------2分

∵直线
与函数
的图象相切，由
消去y得
，

则
，解得
-------------------------------------------4分

（2）当
时，∵
，

∴
，--------------------------------------------------5分

当
时，
，∴在
上单调递减，

，
-------------------------------------7分

则

，

∴

,故满足条件的最大整数
.----------------------------------9分

（3）不妨设
，∵函数
在区间[1,2]上是增函数，∴
，

∵函数
图象的对称轴为
，且
，∴函数
在区间[1,2]上是减函数，

∴
，--------------------------------------------------------------10分

∴
等价于
，

即
，------------------------------------------------11分

等价于
在区间[1,2]上是增函数，

等价于
在区间[1,2]上恒成立，----------------------------------12分

等价于
在区间[1,2]上恒成立，

∴
，又
，∴
.------------------------------------------------------14分