梅州市高三总复习质检试卷（2014.05）

数学（理科）参考答案与评分意见

选择题：BCDC ADBB

填空题：

9.7 10. [0,1） 11.4 12.30 13.③ 14.2 15.
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 解法一:(1)

解法二:

17.解：（1）设“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”为事件
“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”为事件
. ………………1分

　　 ………………3分

　
. ………………6分

（2）
的可能取值为
元，
元，
元． ………………7分

，

. ……10分

的分布列为：





























（元）． ………………12分

18.(1)证明:

∥
,
∥
,

∥
,

……2分

∥

∥
…………4分

∥

∥
…………6分

(或:连结
交
于点
，设
,连接
.证明
∥
)

(2)取
的中点
，连接
，

所以
是正三角形，所以

,
,

从而
两两垂直，以
为
轴，
为
轴，

为
轴建立空间直角坐标系
（如图所示），设
.………7分

则
,
,
,
,

,
.

;
.………8分

设平面
的法向量为
，

平面
的法向量为
.

则有
即

令
，得
所以
………………10分

由
,即
,

令
,得
，所以
.……………11分

若
，所以
，即
,

得
,解得：
. …………………………13分

故当
时，能使得
. ……………………14分

（或：连结
，连结
，

∥

）

19.解：（1）直线
与坐标轴的点为
，
. ……………1 分

围成的三角形面积为
. ……………2 分

解得：
. ……………5分

椭圆
的方程为
. ……………6分

（2）由（1）得，
. ……………7分

线段
的中点为
，直线
的斜率为
.

线段
中垂线
的方程为
，即
.…9分

圆心
在直线
上，当圆心
与原点
的距离最小时，
，

直线
的方程为
. ……………11分

由
，得
.

,半径
. ……………12分

圆
的方程为
. ……………14分

. ……………2分

…………… 4分

……5分

时，恒有
，
在
上是增函数； …………6分

时,

………………7分

综上，当
时，
在
上是增函数； ………………8分

时，
在
上单调递增，在
上单调递减.…9分

（3）

,

， …………………10分

则只要证:
，由

故等价于证:
(*) ………………11分

①

……………12分

②

……………13分

由①②知（*）成立，
………………………… 14分

21.解：（1）由
，可得
. ……………2分

又

从而数列
是以
为首项，公比为6的等比数列，

所以
，即
. … ………………………4分

（2）先证明
.

时，10=10满足题意；

时，
.

. ……5分

当
为偶数时,

. ……6分

当
为奇数时,

. …………7分

从而
时，
，
. …………8分

又
，

.

………………9分

. ………………10分

（3）假设存在

成等差数列，因为
为递增数列，

不妨设
则有
，从而
………………11分

又
，
, …………………12分

. ………………13分

所以
与假设矛盾，故原证成立. …………………14分