东莞市2014届高三文科数学模拟试题(二)

命题：谢朝军 审稿与校对：姜平荣

选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合
，则下列关系中正确的是

A．M∪P=P B．M=P C．M∪P=M D．M∩P=P

2．复数
的虚部是

A．
B．
C．
D．1

3．对于非零向量
，“
”是“
”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知函数
的图象与
的图象关于直线
对称，则

A．
B．
C．
D．

5．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，

七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一

个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为

A．4.84 B．0.8

C．1.6 D．3.2

已知
是两条直线，
是两个平面，给出下列命题：①若
，则
；②若平面
上有不共线的三点到平面
的距离相等，则
；③若
为异面直线
，则
．其中正确命题的个数

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

7．已知实数
，
满足
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知双曲线

的右焦点与抛物线
焦点重合，则此双曲线

的渐近线方程是

A．
B．
C．
D．

9．若
，则点
必在

A．直线
的左下方 B．直线
的右上方

C．直线
的右上方 D．直线
的左下方

10．如图所示，
是圆
上的三个点，
的延长线与线段
交于圆内一点
,若
，则

A．
B．

C．
D．

二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ）

11．函数
的极小值是 ．

12．已知数列
是等差数列，
，则首项
．

13．已知
的内角A，B，C所对的边分别为
，且
，
，
．

则
的值为 ．

★（请考生在以下两个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分）

14．（坐标系与参数方程选做题）直线

(
为参数)的倾斜角是 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，
的割线

交
于
两点，割线
经过圆心
，已知
，

，
，则
的半径是__ ．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）

已知函数
.

(1)求
的值；

(2)?求
的最大值和最小正周期；

(3)?若
,
是第二象限的角,求
.

17.（本小题满分12分）

一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500m
l和700ml两种型号,某天的产量如右表(单位:个):

型号

甲样式

乙样式

丙样式



500ml

2000

z

3000



700ml

3000

4
500

5000



按样式分层抽样的方法在这个月生产

的杯子中抽取100个,其中有甲样式

杯子25个.

（1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取

2个杯
子，求至少有1个500ml杯子的概率．

18．（本小题满分14分）[来源:学科网]

如图，已知
⊥平面
，
∥
，

=2，且
是

的中点．
．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：平面BCE⊥平面
；

（3）求此多面体的体积

19．（本小题满分14分）

已知函数

的图象上。

（1）求数列
的通项公式
；

（2）令
证明：
．

20．（本小题满分14分）

已知函数
.(
).

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）若对
，有
成立，求实数
的取
值范围．

21
．（本小题满分14分
）

如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
：
，设圆
与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的最小值，并求此时圆
的方程；

（3）设点
是椭圆
上异于
,
的任意一点，且直线
分别与
轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值．

东莞市2014届高三文科数学模拟试题(二)

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

A

B

C

D

B

D

D

A

C



二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ）

题号

11

12

13

14

15



答案

7







8



三、解答题（本大题共6小题，满分80分。）

17. （ 本小题满分12分
）

解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个,在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得,
,所以x=40. -----------2分

则100－40－25＝35，所以，
n=7000， 故z＝2500 --5分

共10个,其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件:

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从
中任取2个,至少有1个500ml杯子的概率为
. --12分

18. （ 本小题满分14分）

解：（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点， ∴FP∥DE，且FP=

又AB∥DE，且AB=
∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP． …3分

又∵AF
平面BCE，BP

平面BCE, ∴AF∥平面BCE …………5分

（Ⅱ）∵
，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD

∵AB⊥平面ACD，DE//A
B ∴DE⊥平面ACD 又AF
平面ACD

∴DE⊥AF 又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面
CDE 又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE

又∵BP
平面BCE ∴平面BCE⊥平面CDE …10分

(III)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，

，

等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高

…………14分

19．（ 本小题满分14分）

解：（1）
…………2分

当
；当
，适合上式，

……………6分

（2）证明：由

…………………………9分

又

……12分

成立 …………………………………14分

20．（ 本小题满分14分）

解：（1）当
时，

=
， ---2分

令
，解得
.

当
时，得
或
；

当
时，得
.

当
变化时，
，
的变化情况如下表：







1







+

0



0

+





单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增



------4分

∴当
时，函数
有极大值，
------5分

当
时函数
有极小值，
--------6分

（2）∵
，∴对
，
成立，[来源:学科网ZXXK]

即
对
成立，---7分

①当
时，有

，

即
，对
恒成立，----------------------------

∵
，当且仅当
时等号成立，

∴

-------11分

②当
时，有
，

即
，对
恒成立，

∵
，当且仅当
时等号成立，

∴
---------13分

故椭圆
的方程为
．…………3分

（2）点
与点
关于
轴对称
，设
，
， 不妨设
．

由于点
在椭圆
上，所以
． （*）……………………………4分

由已知
，则
，
，

．……6分

由于
，故当
时，
取得最小值为
．

由（*）式，
，
故
，又点
在圆
上，代入圆的方程得到
．

故圆
的方程为：
． …………………………………………8分