本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3.答第Ⅱ卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.

4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集
，集合

则
=

A.
B.
C.
D.

2.袋中有
个小球，其中红色球
个、蓝色球
个，白色球
个，黄色球个，从中随机抽取
个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为

A.
B.
C.
D.

3.—空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为

4.已知随机变量
服从正态分布
.则“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.按照如图的程序运行，已知输入的值为
，则输出的值为

A.
B.
C.
D.

6.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出
名学生

参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分
分）的

茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是
， 乙班学生成绩的中位数是
，则的值为

A. B. C. D.

7.在
中，角
均为锐角，且
， 则

的形状是

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能判断

8.设二元一次不等式组
所表示的平面区域为
，使函数

的图象过区域
的的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9.抛物线
的焦点为，
是抛物线
上的点，若
的外接圆与抛物线
的准线相切，且该圆面积为
，则

A. B. C.
D.

10.函数
的图像与函数
的图像所有交点的横坐标之和等于

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.

11.已知复数满足
，则的虚部＝ .

12.设函数
, 则使
恒成立的的取值范围为 .

13.已知
展开式中，奇数项的二项式系数之和为
，则
展开式中含
项的系数= .

14.如图矩形
内放置
个大小相同的正方形，其中
都

在矩形的边上，若向量
,则
.

15.已知
是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的
满足
，
，

考查下列结论：①
；②
为偶函数；③数列
为等比数列；④数列
为等差数列.其中正确的是_________ .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

将函数

的图象向右平移
后得到
图象，已知
的部分图象如右图所示，该图象与轴相交于点
，与轴相交于点、
，点
为最高点，且
．

（Ⅰ）求函数
的解析式，并判断
是否是
的一个对称中心；

（Ⅱ）在
中，、
、分别是角、、

的对边，
,且
，求
的最大值．

17．（本小题满分12分）

已知正项数列
的前项和为
且满足
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）当
，
（
均为正整数）时，求
和
的所有可能的乘积
之和.

18．（本题满分12分）

如图，直角梯形
与等腰直角三角形

所在的平面互相垂直.

.

（Ⅰ）求直线
与平面
所成角的正切值；

（Ⅱ）线段
上是否存在点，使
平面
？存在请确定具体位置，不存在说明理由.

19．（本题满分12分）

现有正整数
，一质点从第一个数出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于时，质点向前跳一步；骰子的点数大于时，质点向前跳两步．

（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为ξ，求
和
；

（Ⅱ）求质点恰好到达正整数
的概率．

20.(本小题满分13分）

已知圆
，椭圆
的右顶点为圆
的圆心，左焦点与双曲线
的左顶点重合.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知直线
与椭圆
分别交于两点
，与圆
分别交于两点
（其中点
在线段
上）且
，求
的值.

21．(本题满分14分)

设
是函数
的一个极值点.

（Ⅰ）求与
的关系式（用表示
），并求
的单调区间；

（Ⅱ）设
，若存在
，使得
成立，求实数的取值范围.

201404理科数学 参考答案及评分标准

17解：（Ⅰ）∵
， 1分

两式相减得
， 2分

由
得
，又
. 3分

∴ 数列
是首项为
，公比为的等比数列，

∴
. 5分

（Ⅱ）由
和
的所有可能乘积
（
，
） 6分

可构成下表

8分

设上表第一行的和为
，则
10分

于是
…＋
＝

12分

的一个法向量，则必需使

.

则
,设

，
得

令
，则
.要使

，则有
.

此时

所以，线段
上存在点，且是靠近点的一个三等分点.(说明：第二问用几何法更简单)

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）ξ的可能取值为
…………………1分


………………4分

ξ的分布列为





















………………7分

（Ⅱ）质点恰好到达
有三种情形

①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于，概率
；…………8分

②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于，一次大于,概率为
；…………9分

③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于，二次大于，概率
………………10分

所以

即质点恰好到达正整数
的概率为
． ………………12分

20解：（Ⅰ）由题意，圆心
,双曲线的左顶点
， 1分

所以
，椭圆方程为：
3分

（Ⅱ）设
，由直线
与椭圆相较于两点
，则

所以
，则
， 5分

所以
7分

点
到直线
的距离
，

则
9分

显然，若点
也在线段
上，则由于对称性知，直线
就是轴，矛盾.

因为
,所以
, 10分

即
整理得
12分

解得
即
13分

21． (本题满分14分)

解：（Ⅰ）∵

∴

2分

由题意得：
，即
，
3分

∴
且

令
得
，

∵
是函数
的一个极值点

∴
，即

故与
的关系式
5分

（1）当
时，
，由
得单增区间为：
；

由
得单减区间为：
、
；

（2）当
时，
，由
得单增区间为：
；

由
得单减区间为：
、
； 8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，