本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3.答第Ⅱ卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.

4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集
，集合

则
=

A.
B.
C.
D.

2.“函数
的最小正周期为
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.—空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图为

4.从
（其中
）所表示的圆锥曲线方程中任取一个，则此方程是焦点在轴上的双曲线方程的概率为

A.
B.
C.
D.

5.按照如图的程序运行，已知输入的值为
，则输出的值为

A.
B.
C.
D.

6.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出
名学生

参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分
分）的

茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是
， 乙班学生成绩的中位数是
，则的值为

A. B. C. D.

7.在
中，角
均为锐角，且
， 则

的形状是

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能判断

8.设二元一次不等式组
所表示的平面区域为
，使函数
的图象过区域
的的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9.抛物线
的焦点为，
是抛物线
上的点，若
的外接圆与抛物线
的准线相切，且该圆面积为
，则

A. B. C.
D.

10.函数
的图像与函数
的图像所有交点的横坐标之和等于

A. B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.

11.已知复数满足
，则的虚部＝ .

12.函数
,则
的解集为 .

13.定义在实数集上的函数
满足
，当
时，
，则
时，
.

14.如图矩形
内放置
个大小相同的正方形，其中
都

在矩形的边上，若向量
,则
.

15.已知
是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的
满足
，
，

考查下列结论：①
；②
为偶函数；③数列
为等比数列；④数列
为等差数列.其中正确的是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

将函数

的图象向右平移
后得到
图象，已知
的部分图象如右图所示，该图象与轴相交于点
，与轴相交于点、
，点
为最高点，且
．

（Ⅰ）求函数
的解析式，并判断
是否是
的一个对称中心；

（Ⅱ）在
中，、
、分别是角、、

的对边，
,且
，求
的最大值．

17.（本小题满分12分）

已知
.

（Ⅰ）若是从
四个数中任取的一个数，是从
三个数中任取的一个数，求
的概率．

（Ⅱ）若是从区间
中任取的一个数，是从区间
中任取的一个数，求
的夹角是钝角的概率．

18.(本小题满分12分)

在四棱锥
中，
，
，
,
平面
，
．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求
.

19．（本小题满分12分）

已知正项数列
的前项和为
且满足
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）当
，
（
均为正整数）时，求
和
的所有可能的乘积
之和.

20.(本小题满分13分）

已知圆
，椭圆

的右顶点为圆
的圆心，左焦点与双曲线
的左顶点重合.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知直线
与椭圆
分别交于两点
，与圆
分别交于两点
（其中点
在线段
上）且
，求
的值.

21．（本小题满分14分）

已知函数
在点
的切线方程为
.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）设
，求证：
在
上恒成立；

（Ⅲ）已知
，求证：

201404文科数学 参考答案及评分标准

三．解答题

17解：（Ⅰ）设“
”为事件，由
，得
1分

共包含12个基本事件； 3分,

其中
，包含3个基本事件. 4分

则
5分

（Ⅱ）设“
的夹角是钝角”为事件，由
的夹角是钝角，可得
，即
且
（注明：后面的条件没有也不扣分，一条直线不影响面积） 7分

9分

则
11分

答：（Ⅰ）
的概率是
；（Ⅱ）
的夹角是钝角的概率是
. 12分

18.解：(Ⅰ)取
的中点为，连接
，

∵
∴
为
的中位线，

即
∥
且
．……………2分

又∵
∥
，
, ∴
∥
且
，

∴四边形
为平行四边形,∴
∥
. …………3分

又∵
平面
．
平面

∴
∥平面
．……………4分

(Ⅱ）∵
，为
的中点，∴
．…………5分

又
平面
,
∥
,∴
平面
,………6分

,又
,∴
平面
.……………7分

由(Ⅰ)知，
∥
,

∴
．…………8分

（Ⅲ）
平面
平面
,

平面
平面
且交线为
…………9分

又
平面
是四棱锥的高, ………10分

………12分

19解：（Ⅰ）∵
， 1分

两式相减得
， 2分

由
得
，又
. 3分

∴ 数列
是首项为
，公比为的等比数列，

∴
. 5分

（Ⅱ）由
和
的所有可能乘积
（
，
） 6分

可构成下表

8分

设上表第一行的和为
，则
10分

于是
…＋
＝

12分

20解：（Ⅰ）由题意，圆心
,双曲线的左顶点
， 1分

所以
，椭圆方程为：
3分

（Ⅱ）设
，由直线
与椭圆相较于两点
，则

所以
，则
， 5分

所以
7分

点
到直线
的距离
，

则
9分

显然，若点
也在线段
上，则由于对称性知，直线
就是轴，矛盾.

因为
,所以
, 10分

即
整理得
12分

解得
即
13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）将
代入切线方程得

∴
，化简得
………………2分

由题意，切线的斜率为，即

解得：
.

∴
. ………………4分