炎德·英才大联考长郡中学2014届高三月考试卷（四）

数 学（理科）

长郡中学高三数学备课组组稿

（考试范围：高考全部内容）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页，时量120分钟．满分150分，

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，下
列结论成立的是

A.
B.
C.
D.

2．下列命题中，真命题是

A．

B.

C．“
”的充分不必要条件是“
”

D．“
”是“
”的必要不充分条件

3．已知非零向量a，b满足a+b与a-b的夹角是
，那么下列结论中一定成立的是

A.
B.a=b C.
D.a∥b

4．设以
，若x>l，则a，b，c的大小关系是

A．a

C．b

5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

6．双曲线的中心在坐标原点O，A、C分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F是双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于D，若双曲线离
心率为2，则
的余弦值为

A．
B．
C．
D．

7．如图，已知圆
，四

边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F

分别为边AB，AD的中点，当正方形AB

CD绕圆心M转动时，
的取值范

围是

A．
B．

C．
D．
[来源:学科网]

8．已知
，且函数
的最小值为b，若函数

，则不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

选择题答题卡

二、填空题：本大题共8个小题，考生做答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分）

9．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：
，点P的极坐标为
，过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切
值是________.

10．已知a，b，c∈R，且
，则
的最小值是_______.

11.如图，AB是半圆O的直径，C在半圆上，CD
AB于

点D，且AD=3DB，AE= EO，设
，则

___________.

（二）必做题（12至16题）

12．在
的展开式中x的系数是__________.（用数字作答）

13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为___________．

14.设区域
，若任

取点
，则关于x的方程
有
实

根的概率为____________．

15.已知函数
的定义域为R．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

(l)则
函数
的零点个数为___________；

(2)对于给定的实数
，已知函数

,若对任意x∈R，恒有
，

则
的最小值为__________．

16.在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成

递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为
，令
．

(1)数列

的通项公式为
=____________；

(2)
=___________．

三、解答题：本大题共6小题，共
75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知三角形的三内角A、B、C的对边为a，b，c，且△ABC的面积为S=

(1)若a=l，b=2，求c的值．

(2)若
，且
，求b的取值范围．

18.（本小题满分12分）

为了解某班学生关注NBA是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：

已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA的学生的概率为
．

(l)请将上面的列表补充
完
整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA与性别有关？说明你的理由．

(2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA的人数为X，求X的分布列与数学期望．

下面的临界值表仅供参考：

19.（本小题满分12分）

如图，△BCD是等边三角形，AB=AD，
，将△BCD沿BD折叠到△
的位置，使得
.

(l)求证：
；

(2)若M、N分别为BD，
的中点，求二面角N-AM-B的正弦值．

20.（本小题满分13分）

如图所示，有一具开口向上的截面为抛物线

型模具，上口AB宽2m，纵深OC为1.5 m.[来源:Z*xx*k.Com]

(l)当浇铸零件时，钢水面EF距AB
0．5m，

求截面图中EF的宽度；

(2)现将此模具运往某地，考虑到运输中的

各种因素，必须把它安置于一圆台型包装箱内，求使包装箱的体积最小时的圆台的上、下底面的半径.[来源:学科网ZXXK]

为上、下底面的半径，h为高，参考数据

21.（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy中，已知椭圆
的一个顶点坐标为
，且抛物线
的焦点是椭圆
的另一个顶点．

(l)求椭圆
的方程；

(2)①若直线
同时与椭圆
和曲线
相切，求直线
的方程．

②若
直线
与椭圆
交于M，N，且直线OM的斜率是
与直线ON的斜率
满足
,求证：
为定值．

22.（本小题满分13分）

已知数列
的前n项和
满足
，数列
的通项公式为

(1)求数列
的通项公式；

(2)是否存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k，使得三

落在圆C上？请说明理
由．

[来源:Zxxk.Com]