岳阳县一中2014届高三第三次阶段考试

数学试卷(理)

时量:120分钟 分值:150分

命 题:邓超华 审 题：周军才

一、选择
题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，7}，则P∩（?UQ）=（　　）

（A）{1,2} （B）{3,4,5} （C）{1,2,6,7} （D）{1,2,3,4,5}

【答案】A

2.根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为 （ ）

（A） 25 （B）30 （C） 31 （D） 61

【答案】C

3. 设变量
,
满足
,则
的最大值和最小值分别为（ ）

（A） 1，
1 (B) 2，
2 (C ) 1，
2 (D)2，
1[

【答案】B

4. 已知函数
，则函数
的零点个数为（　　）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【答案】C

5.设函数
的最小正周期为
，且
，则

（A）
在
单调递减 （B）
在
单调递减

（C）
在
单调递增 （D）
在
单调递增

【答案】A[来源:学科网]

6. 若向量
，
，
两两所成的角相等，且
，
，
，则
= ( )

（A）2 （B）5 （C）2或5 （D）
或

【答案】A

7. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，
则△ABC的面积为 (　　)

（A）12
（B）15 （C）12 （D）15

【答案】B

8. 在平面直角坐标系中，若两点P，Q满足条件：

①P，Q都在函数
的图象上；

②P，Q两点关于直线
对称，则称点对P，Q是函数
的一对“和谐点对”

（注：点{P,Q}与{Q,P}看作同一对“和谐点对”）

已知函数
则此函数的“和谐点对”有

（A）0对　　 （B）1对　　
（C）2对　 　（D）3对

【答案】C

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分.

9. 函数
的定义域是_ ____．

【答案】
[来源:学.科.网Z.X.X.K]

10.某观察站
与两灯塔
、
的距离分别为30
0米和500米，测得灯塔
在观察站
北偏东30
，灯塔
在观察站
正西方向，则两灯塔
、
间的距离为 米。

【答案】700米

11. 函数
的值域为

【答案】

12. 已知函数
,则函数
的图象在点
处的切线方程是 .

【答案】

13. 若
，则
.

【答案】

14. 设M是△ABC内一点，

·

，定义
其中
分别是△MBC，△MAC，△MAB的面积，若
则
的取值范围是 。

【答案】

15. 定义
运算符号“
”：表示若干个数相乘，例如：
．记

，

其中
为数列
中的第
项．

（1）若
，则
；

（2）若
，则
．

【答案】(1)T4=a1*a2*a3*a4=1*3*5*7=105(2)n=1,a1=T1=1n≥2 an=Tn/T(n-1)=n2/(n-1)2

三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16、（本小题满分12分）

已知
；
, 若p是q的充分非必要条件，求实数
的取值范围。

【答案】

解：根据题意，由于
；

则可知
，又因为p是q的充分非必要条件，

则

17、（本小题
满分12分）

设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为
，
，
，且
.

(1)求B的大小；

(2)
的取值范围.

【答案】（1）B=
；（2）

18、（本小题满分12分）

已知数列
的各项均为正数，
为其前
项和，对于任意的
，满足关系式

(1)求数列
的通项公式；

(2)设数列
的通项公式是
，前
项和为
，求证：对于任意的正整数
，总有
.

【答案】(1)
;(2)详见解析.

(1)仿写
成
，两式相减可得数列
是一个等比数列，求出其通项；（2）
化简为
，结合其特点利用裂项相消法求和.

（1）由已知得

?????????????

故

即

故数列
为等比数列，且

又当
时，

所以?
而
亦适合上式

? 6分

（2）

所以


.? 12分

19、（本小题满分13分）

已知a＝(
，－1)，b＝
.

(1)求证：a⊥b；改为：设
与
的夹角为
，解关于
的不等式：

(2)若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)；

(3)求函数k＝f(t)的最小值．

　(1)由a·b＝
－
＝0，得a⊥b.改后答案为：
………… （4分）

(2)由x⊥y得，x·y＝[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2－k(t－3)a·b＋t
a·b＋t(t－3)b2＝0.

－ka2＋t(t－3)b2＝0.

∴k＝
t(t－3)．…………………………（9分）

(3)k＝
t(t－3)＝

－
，

所以当t＝
时，k取最小值－
.…………………………（13分）

20、（本小题满分13分）

某生产保健品的生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2014年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润=收入－生产成本－促销费用)(1)求出x与t所满足的关系式；(2)请把该工厂2014年的年利润y万元表示成促销费
t万元的函数；(3)试问：当2014年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？

【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
（Ⅲ）当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元

【解析】(1)　设比例系数为k
．由题知，有
．………………………1分

又

…4分　
．3分

　(2) 依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为
万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为：(
)元／件．……………………7分

于是，
，进一步化简，得

．……11分

因此，工厂2010年的年利润
万元．

(3) 由(2)知，
[来源:学科网]

　　　
……………11分

所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…13分

21、（本小题满分13分）

已知函数
．

(1) 若函数
在定义域内为减函数，求实数
的取值范围；

(2) 如果数列
满足
，
，试证明：当
时，
．

解： (1) 函数
的定义域为
.

.……………2分

依题意，
恒成立，所以

由
，知
，

，∴p的取值范围为
　　 .……………5分

(2) 首先，由
得
，

而当
时有
，
，

所以，对
，都有
.(用数学归纳法证明也可) ………8分

再由
及

又得
[来源:学科网]

…………….10分

由(1)知当
时
为减函数，取

，则
，

当
时
， 故

，
，….，

将这n－2个式子相加得
[来源:学&科&网]

，将
代入得

故当
时，
　　　 　　　　　　　　　　　…………….13分