2014届高三冲刺高考模拟卷（五）

文科数学参考答案及评分细则

16．解 (1)依据题意，有

=

=

=

=
． …………4分

又
，∴
．　　　 …………6分

17. 解：（1）根据抽样特点并结合题意易知这三所高中高一的

每位学生被抽进样本的概率都是0.02. 2分

所以样本中一中的学生数为
4分

故在样本中任取一人, 此人为三中学生的概率是
6分

（2）结合（1）易知样本中有三中学生数为
， 7分

由
知
8分

因为三中被抽进样本的学生是按性别进行分层抽样的，所以样本中三中男生与女生分别为12人，8人， 10分

结合题意易知样本中三中男生平均身高为
，

所以三中男生平均身高约为
。 12分

18. 解：(Ⅰ)底面
为菱形，
为
的中点，所以
又
则
所以
平面
而
面
平面
平面
…6分

(Ⅱ)连接
交
与
点，连接
，若使得
平面
，则

在底面菱形
可得
……………………………12分

（Ⅱ）由题设，
，又
，

所以，
，
，

这等价于，不等式
对
恒成立．

令
（
），

则
，

所以
在区间
上是减函数，所以
的最小值为
．

所以
．即实数的取值范围为
． …………………12分

20.解析（1）
,

,

,

.

又数列
成等比数列，
，所以
；

又公比
，所以

；

又
,
,
；

数列
构成一个首相为1公差为1的等差数列，
，

当
，
；
(
)；

（2）

；

由
得
，满足
的最小正整数为112.

21.解（Ⅰ）设点
的坐标为
，由图可知
，
，
，

．

由
，得点的坐标为
；

由
，得点
的坐标为

． ?……分

于是，当
时，直线
的方程为

， ……①

直线
的方程为
． ……②

①②，得
，即
．

当
时，点
即为点，而点的坐标
也满足上式．

故点
的轨迹方程为
． ……分

（Ⅱ）设过点
的直线
的方程为
，且设
，
．

由
得
． ……③

由于上述方程的判别式
，所以
，
是方程③的两根，

根据求根公式，可得
．

又
，所以
的面积
． ……分

令

，则
．于是
，
．

记
，
，则
．

因为当
时，
，所以
在
上单调递增．

故当
时，
取得最小值
，此时
取得最大值
．

综上所述，当
时，即直线
垂直于轴时，
的面积取得最大值
．…14分