2014年蓟县高三数学模拟题（理）第Ⅰ卷（共50分）

蓟县二中

参考公式：

球的表面积公式：
，其中
是球的半径．

如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率：
．

如果事件
互斥，那么
．

如果事件
相互独立，那么
．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

如果复数
（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ C ）  A．
B．
C．
D．

2． 变量
满足下列条件：
，则使
的值最小的
是( A )

A. ( 4.5 ,3 ) B. ( 3,6 ) C. ( 9, 2 ) D. ( 6, 4 )

4．执行右面的程序框图，输出的s是
( D )学科网

(A) -378
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(B) 378
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(c) -418
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(D) 418
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5．某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据．可得

这个几何体的表面积为( B )
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A.
B.

学科网 C.
D.12
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3．“
”是“
”的( A )

6． 过点（－4，0）作直线L与圆x2+y2+2x－4y－20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，

则L的方程为 ( D )

A
　 5x+12y+20=0 B
　 5x-12y+20=0

C
　 5x-12y+20=0或x+4=0 D
　 5x+12y+20=0或x+4=0

7．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了
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20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直
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方图．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等
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方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从
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月收入[3000，3500)(元)段中抽取了30人．则
学科网

在这20000人中共抽取的人数为
( A )学科网

A.200 B.100
学科网 C.20000 D.40
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8．已知双曲线
,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( B )

A.
B.
C. 2 D.4

9．已知等差数列
中，有
，且它们的前
项和
有最大值，则使得
的

的最大值为 （ B ）

A．11 B．19 C． 20 D．21

10
　已知函数
满足：①
；②在
上为增函数
　

若
,且
,则
与
的大小关系是( C)

A
　
B
　

C
　
D
　 无法确定

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题．每小题4分。共24分

11．
的展开式中含x2项的系数是 5

12.抛物线
+12y=0的准线方程是 y=3

13.圆心在
，半径为3的圆的极坐标方程是

14.如图,
切圆
于点
,
交圆
于
、
两点，

且与直径
交于点
，
，

则
15

15、设向量a，b的夹角为θ，a=（2，1），a+3b=（5，4），则sinθ=

16．五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有 30 种。

三、解答题（本题共6道大题，满分76分）

17． 已知函数
．

（1）求
的最小正周期；

（2）求
的单调递增区间；

（3）求
图象的对称轴方程和对称中心的坐标．

17．解:

=
=

（1）T=π； 4分

（2）由

可得单调增区间
（
． 8分

（3）由
得对称轴方程为
，

由
得对称中心坐标为
． 12分

18.(本小题满分12分)如图,
两点有5条连线并联,它们在单位时间能通过的信息量依次为
.现从中任取三条线且记在单位时间内通过的信息总量为
.

(1)写出信息总量
的分布列;

(2)求信息总量
的数学期望.

18.(1)由已知,
的取值为
. 2分

,
,

,
8分

7

8

9

10
















的分布列为:

9分

(2)
11分

12分

19.已知长方体
中，棱
棱
，连结
，过
点作
的垂线交

于
，交
于
．

（1）求证：

平面
；

（2）求点
到平面
的距离；

（3）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（1）证明：由已知A1B1⊥面BCC1B1

又BE⊥B1C

∴A1C⊥BE ………………………………2分

∵面ABCD是正方形，∴AC⊥BD

∴A1C⊥BD

∴A1C⊥平面
………………………………4分

解（2）∵AB∥A1B1, ∴AB∥面

∴点
到平面
的距离与点B到平面
的距离相等

由（1）知A1C⊥BE，又BE⊥B1C

∴BE⊥面

∴BF即是点B到平面
的距离 ………………………………6分

在△BB1C中，

∴点
到平面
的距离为
………………………………8分

另解：连结
,A到平面
的距离,即三棱锥
的高,设为

,
,由

得:
,

∴点A到平面
的距离是

（3）连结FD, 由（2）知BE⊥面

∴
是
在平面
上的射影

∴∠EDF即是直线
与平面
所成的角 ………………………………10分

由△BB1C∽△BCE可求得CE=

∴BE=DE=
, ∴EF=

∴

即
与平面
所成的角的正弦值是
………………12分

20．（本小题满分12分）已知数列
的各项均为正数，
是数列
的前n项和，且

．

（1）求数列
的通项公式；

（2）
的值.

20．解（1）当n = 1时，
解出a1 = 3,

又4Sn = an2 + 2an－3 ①

当
时 4sn－1 =
+ 2an-1－3 ②

①－②
, 即
，

∴
,

（
），

是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分

．

（2）
③

又
④

④－③

=

12分

21.已知函数
图象上斜率为3的两条切线间的距离为
，函数
．

（1）若函数
在
处有极值，求
的解析式；

（2）若函数
在区间
上为增函数，且
在区间
上都成立，求实数
的取值范围．

21.解：∵
，∴由
有
，即切点坐标为
，

∴切线方程为
，或

整理得
或
……………………4分

∴
，解得
，∴
，

∴
……………………6分

（1）∵
，
在
处有极值，∴
，

即
，解得
，∴
……………………8分

（2）∵函数
在区间
上为增函数，∴
在区间
上恒成立，

∴
，又∵
在区间
上恒成立，∴
，

即
，∴
在
上恒成立，∴

∴
的取值范围是
…………14分

（22）（本小题满分14分）

椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，椭圆
上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若直线
与椭圆
相交于
两点（
不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆
的右顶点．求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．

解：（1）由题意设椭圆的标准方程为
，由已知得：
，

椭圆的标准方程为
． 4分

（2）设
．联立

得
，则

8分

又
．

因为以
为直径的圆过椭圆的右顶点
，
，即
．

．
．

．解得：
，且均满足
．

当
时，
的方程
，直线过点
，与已知矛盾；

当
时，
的方程为
，直线过定点
．

所以，直线
过定点，定点坐标为
． 14分