天津市蓟县邦均中学2014届高三模拟试题

数学（文）

第Ⅰ卷

本卷共10个小题，每小题5分，共50分。

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
则
（ ）

A.
B.

C.
D.

2．已知命题
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

3．若直线
（ ）

A．－2或0 B．0 C．－2 D．

4.已知实数
满足条件
，那么
的最大值是（ ）

A. 1 B.3 C. 6 D. 8

5. 函数
的图像大致是（ ）

6. 在△
中，内角A、B、C的对边分别为
、
、
，且
，则

△
是（ ）

A．钝角三角形 　　　　 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等边三角形

7．要得到函数
的图明，只需将函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

8．以双曲线
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

9．连续掷两次骰子分别得到的点数为m、n，则点P（m,n）在直线x+y=5左下方的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.若
，定义
则函数
的奇偶性是（ ）

A.
为偶函数，不是奇函数 B.
为奇函数，不是偶函数

C.
既是偶函数，又是奇函数　　D.
既不是偶函数，又不是奇函数

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。

11．抛物线
的焦点坐标为 。

12．已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是

边长为1的正三角形（如图所示），则三棱锥

A—BCB′的体积为 。

13. 已知等差数列
中，
，则

的值为_________.

14.执行右边的程序框图，若p＝0.8，

则输出的n＝　　　　　.

15.已知
的值为 ，
的值为 .

16．下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）

①若
则“
”是“a>b”成立的充分不必要条件；

②当
时，函数
的最小值为2；

③命题“若
，则
”的否命题是“若
”；

④函数
在区间（1，2）上有且仅有一个零点。

三、解答题：

17．(本题满分12分)

设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(COSx，
sin2x+m)．

(1)求函数f(x)的最小正周期和在[o，π]上的单调递增区间；

(2)当x∈[0，
]时，f(x)的最大值为4，求m的值．

18．（本小题满分12分）

育新中学的高二、一班男同学有
名，女同学有
名，老师按照分层抽样的方法组建了一个
人的课外兴趣小组．

（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出
名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为
，第二次做试验的同学得到的试验数据为
，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.

19．（本小题满分12分）

一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点。

（1）求证：MN//平面ACC1A1；

（2）求证：MN⊥平面A1BC。

20.（本题满分12分）.

数列
的前
项和为
，点
在曲线
上。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前
项和为
，若
对
恒成立，求最

大正整数
的值。

21．（本小题满分14分）

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

22．（本题满分14分）

已知函数

（1）若
处取得极值，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若关于x的方程
上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；

（3）若存在
，使得不等式
成立，求实数a的取值范围。

高三模拟试题答案

数学（文）

B

C

A

C

A

A

D

B

A

B



二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．
12．
13 2　14 4 15．
； 16．①③④

三、解答题

17．解：(1)∵f(x)=2cos2x+
sin2x+m=2sin(2x+
)+m+1，…………………2分

∴函数f(x)的最小正周期T=π．…………………………………………………4分

在[0, π]上单调递增区间为[0,
]，[+
]………6分

(2)当x∈[0,
]时，∵f(x)递增，∴当x=
时，f(x)最大值为m+3=4．

解得m=1∴m的值为1．………………………………………………………．．12分

18．解：（Ⅰ）

某同学被抽到的概率为
………………2分

设有
名男同学，则
，

男、女同学的人数分别为
………………4分

（Ⅱ）把
名男同学和
名女同学记为
，则选取两名同学的基本事件有

共
种，其中有一名女同学的有
种

选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
……………………………8分

（Ⅲ）
，

，

第二同学的实验更稳定………………………12分

19. （本题满分12分）

解：由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1。…………1分

（1）连接AC1、AB1，由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形。

由矩形性质得AB1经过A1B的中点M，

又∵N为B1C1的中点，

∴△AB1C1中，MN//AC1。………………5分

又∵AC1
平面ACC1A1，MN
平面ACC1A1。

∴MN//平面ACC1A1。……………………7分

（2）∵直三棱柱ABC—A1B1C1中，平面

ACC1A1⊥平面ABC，且AC⊥BC

∴BC⊥平面ACC1A1。

又∵AC1
平面ACC1A1

∴BC⊥AC1。

在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C。……………………10分

由（1）知MN//AC1。

∴MN⊥BC且MN//A1C。……………………11分

又∵BC∩A1C=C。

∴MN⊥平面A1BC。……………………12分

20.（12分）. 解：（Ⅰ）
，

∴当
时，
。―――2分

当
时，
，―――4分

当
时也满足上式，故

数列
的通项公式是
。―――6分（未验算减1分）

（Ⅱ）
，―――7分

　　　①

　　　②

－②得

，

。―――9分（有错位相减思想，计算错误得1分，后继过程不计分）

，

数列
单调递增，
最小，最小值为：
―――10分

―――11分

故正整数
的最大值为2。―――12分

21．解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）………………1分

由题设可得

∴动点P的轨迹方程为
，

则

∴曲线E方程为
…………………………6分

（2）直线MN的方程为

由

∴方程有两个不等的实数根

………………9分

…………11分

∵∠MBN是钝角

即
解得：
……………………13分

又M、B、N三点不共线

综上所述，k的取值范围是
………………14分

22 .解：（1）

由题意得
，经检验满足条件。

（2）由（1）知
…………2分

令
（舍去）………………4分

当x变化时，
的变化情况如下表：

x

－1

(－1,0)

0

（0，1）

1







－

0

+







－1

↘

－4

↗

－3





…………………………6分

∵关于x的方程
上恰有两个不同的实数根，

……………………8分

（3）由题意得，

………………9分

①若

单调递减。

∴当

②当a>0时
随x的变化情况如下表：

x





（
，+
）





+

0

—





↗



↘



…………………………12分

由

综上得a>3.…………………………14分