四川省眉山市2014届高三第二次诊断性考试

数学理

2014.4

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5mm的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.

5.考试结束，只收回答题卡.

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

已知
，且
，（
是虚数单位），则

A.
B.
C.2 D.4

函数
的图像

A.关于直线
对称

B.关于原点对称

C.关于
轴对称

D.关于直线
对称

某程序框图如图所示，则输出的
的值为

A.4 B.5 C.6 D.7

在等差数列
中，已知
，则该数列前11项和

A.58 B.88 C.143 D.176

已知四棱柱的侧棱长为2，且侧棱垂直于底面，底面是边长为2且有一个内角为60°的

菱形，若该四棱锥的俯视图的面积与四棱柱的底面积相等，则该四棱柱左视图面积的最小值是

A.
B.
C.2 D.

已知下列四个命题：

①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的
，其体积缩小到原来的
；

②若两组数据的标准差相等，则它们的平均数也相等；

③直线
与圆
相切；

④“
”是“
”的充分不必要条件.

其中真命题的序号是：

A.①② B.②④ C.①③ D.②③

已知竖曲线
的左顶点为
右顶点
右焦点为
，点
为双曲线上一点，
，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

已知点
时椭圆
上的一个动点,点
在线段
的延长上且
.则点
的横坐标的最大值是

A.18 B.15 C.10 D.7.5

函数
的导函数是
，若对任意的
,都有
成立,则

A.
B.

C.
D.无法比较

非选择题部分（共100分）

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案写在答题卡对应的位置上.

已知一颗粒子的等可能地落入如图所示的四边形
内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入△BCD内的频率稳定在
附近，那么点
和点
到直线
的距离之比为______.

△
中，已知
，则
______.

设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为12，则
的最大值为_______

平面直角坐标系中，已知
.
是
轴上任意一点，平面上点
满足：
对任意
恒成立，则点
的轨迹是_________.

设定义域为
的单调函数
对任意的
都有
，
是方程
的一个解，且
，则实数
______.

解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.

（12分）已知递增的等比数列
满足:
,
是
与
的等差中项.

（1）求数列
的通项公式；

（2）假设
，其数列
的前
项和
，并解不等式
.

△





（12分）新一届中央领导集体非常重视勤俭节约，从“光盘行动”到“节约办春晚”。到饭店吃饭是吃光盘子或时打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”.政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取
人进行了一次调查，得到如下统计表：

组数

分组

频数

频率

光盘族占本组比例



第1组

[25,30)

50

0.05

30%



第2组

[30,35)

100

0.10

30%



第3组

[35,40)

150

0.15

40%



第4组

[40,45)

200

0.20

50%



第5组

[45,50)

a

b

65%



第6组

[50,55)

200

0.20

60%



 （1）求
的值，并估计本社区[25,55)岁的人群中“光盘族”所占比例；

（2）从年龄段在[35,40)与[40,45)的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.

（i）已知选取2人中1人来自[35,40)中的前提下,求另一人来自年龄段[40,45)中的概率；

（ii）求2名领队的年龄之和的期望值.（每个年龄段以中间值计算）.

△





（12分）在△
中，
是角
对应的边，向量
,

，且
.

（1）求角
；

（2）函数
的相邻两个极值的横坐标分别为
、
，求
的单调递减区间.

△





（12分）如图四棱柱
的底面是正方形，
是底面的中心，
.

（1）证明：平面
平面
；

（2）求二面角
的余弦值.

△





（13分）以抛物线
的焦点为右焦点的椭圆，上顶点为
，右顶点为
,左、右焦点为
，且
，过点
的直线
，斜率为
，

与椭圆交于
两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若
的中点为
，且
，求出斜率
的值；

（3）在
轴上是否存在点
，使得以
为邻边的四边形是个菱形？如果存在，求出
的范围；否则，请说明理由.

△





（14分）已知函数
.（
）

（1）若关于
的不等式
的解集为
，求
的值；

（2）求
的单调区间；

（3）若
，
的图像上是否存在两点
，（其中
）使得
的斜率等于曲线在其上一点
（点
的横坐标等于
中点的 横坐标）处的切线的斜率？

△