本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3.答第Ⅱ卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.

4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2.已知三条直线
和平面
，则下列推论中正确的是

A.若
B.若
，
，则
或
与
相交

C.若
D.若
共面，则

3.
的内角
的对边分别为
,且
．

则

A.
B.

C.
D.

4.如果执行右侧的程序框图，那么输 出的
的值为

A.
B.

C.
D.

5.
是函数
的零点，若
，则
的值满足

A.
B.
C.
D.
的值正负不定

6.如图，设
是图中边长为
的正方形区域，
是函数

的图象与
轴及
围成的阴影区域．向
中随机投一点，

则该点落入
中的概率为

A.
B.
C.
D.

7.若不等式
成立的一个充分条件是
，

则实数
的取值范围应为

A.
B.
C.
D.

8.已知变量
满足约束条件
若目标函数，
仅在点
处取得最小值, 则实数
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

9.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

A.
B.
C.
D.

10.已知点
在直线
上移动，当
取最小值时，过
点
引圆C：
的切线，则此切线长等于

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.

11.复平面内有
三点，点
对应的复数为
，向量
对应的复数为
，向量
对应的复数为
，则点
对应的复数 .

12.设常数
，若
的二项展开式中
项的系数为
，则
.

13.抛物线
的顶点在坐标原点，对称轴为
轴，若过点
任作一直线交抛物线
于
,
两点，且
，则抛物线
的方程为 ．

14.若等边
的边长为
，平面内一点
满足
，则
.

15.若函数
的图象如图所示，
是函数
的导函数，且
是奇函数，则下列结论中

①
②

③
正确的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知
，
，其中
.且满足
.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若关于
的方程
在区间
上总有实数解，求实数
的取值范围.

17.（本小题满分12分）

袋中装有黑球和白球共
个,从中任取
个球都是黑球的概率为
现有甲、乙两人从袋中轮流摸取
球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用
表示取球终止所需要的取球次数.

（Ⅰ）求随机变量
的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求乙取到白球的概率.

18．（本小题满分12分）

如图，已知
平面
，等腰直角三角形
中，

，
于
，
于
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.

19．（本题满分13分）

各项均为正数的数列
,其前
项和为
，满足
（
），且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）证明：

；

（Ⅲ）若
，令
，设数列
的前
项和为
（
），试比较
与
的大小.

20.(本小题满分12分）

已知函数
．

(Ⅰ) 若
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，判断函数
在区间
上有无零点？写出推理过程.

21.(本小题满分14分)

已知直线
过椭圆
的右焦点
，抛物线：
的焦点为椭圆
的上顶点，且直线
交椭圆
于
、
两点，点
、
、
在直线
上的射影依次为点
、
、
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
交
轴于点
，且
.证明：

的值定值；

（Ⅲ）连接
、
，直线
与
是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

201403理科数学 参考答案及评分标准

三．解答题

16解：(Ⅰ)由题意知，

由
得，
， ……………………………………3分

∵
，又
，∴
，∴
……… 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

……………… 7分

∵
，
，

∴
，
. ………… 9分

又∵
有解，即
有解，

∴
，解得
，所以实数
的取值范围为
. …12分

17解: （Ⅰ）设袋中原有
个黑球,由题意知
……………1分

， 可得
或
(舍去) ……………3分

所以黑球有4个，白球有3个.

由题意,
的可能取值为
……………4分

……………7分（错一个扣一分，最多扣3分）

所以
的分布列为



























……………8分

所以数学期望为:
……………9分

（Ⅱ）因为乙后取,所以乙只有可能在第二次,第四次取球,记乙取到白球为事件A,则
……………11分

答：乙取到白球的概率为
. ……………12分

18．解：（Ⅰ）证明：因为
，

所以
,又
, 所以
,从而
．……2分

又
, ,所以
,得
，……4分

又
,所以
，∴
……6分

（Ⅱ）过点
作
∥
,则

平面
,如图所示

，分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴

建立空间直角坐标系． ……7分

设
，则
,

因为
，
是平面
的一个法向量，∴向量
所成的角的余弦值的绝对值为
， ……9分

又

则
，解得

∴
……12分

19．解:（Ⅰ）由
得，
,即

又
,所以有
,所以∴
所以数列
是公比为2的等比数列. …………………………2分

由
得
,解得
.

故数列
的通项公式为
……………………………4分

（Ⅱ）由题意即证
①当
时，
,不等式显然成立；………………………5分

②假设当