吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；

3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
，
，
，则

A．0或3 B．0或
C．1或
D．1或3

2．已知
为虚数单位，若复数
,则

A．
B．
C．
D．

3．下列函数中，在定义域内既是奇函数
又为增函数的是

A.
B.

C.

D.

4．已知
为两个平面，且
，
为直线．则
是
∥
的

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若双曲线
的渐近线方程为
，则双曲线离心率为

A．
B．3 C．
D．

6．在二项式
的展开式中，
项的系数为

A．8 B．4 C．6 D．12

7．已知
，则

A．
B
．
C．
D．

8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是

A．－3

B．
－

C． 

D． 2

9．已知随机变量
服从正态分布
，
，则

A．0.954 B．0.977 C．0.488 D．0.477

10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为
的扇形,

则该几何体的侧面积为

A．

B．

C．

D．

11．若函数
在点
处的切线平行于函数

在点
处的切线，则直线
的斜率

A．1 B．
C．
D．

12．在
中，
分别为内角
所对的边，
，且满足

．若点
是
外一点，

,
，平面四边形

面积的最大值是

A．
B．
C．3 D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

13．已知实数
满足
，则目标函数
的最大值为　　　　　.

14．已知函数
，则
　　　　　.

15．已知点
为抛物线
的焦点，
为原点，点
是抛物线准线上一动点，

在抛物线上，且
＝4，则
＋
的最小值是　　　　　.

16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A
为圆心、AB为半径的圆弧

上的任意一点，设向量
＝λ
＋μ
，则λ＋μ的最小值为　　　　　.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17
．（本小题满分12分）

已知数列
满足首项为
，
，
．设

，数列
满足
．

（Ⅰ）求证：数列
成等差数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）

“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响

门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，

选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答

每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更

多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在

一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~
30；30~40（单位：

岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．

每扇门对应的梦想基金：（单位：元）

（Ⅰ）写出
列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？

说明你的理由．（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为
，正确回

答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是
，且各个问题回答正确与否互

不影响．设该选手所获梦想基金总数为
，求
的分布列及数学期望．

（参考公式
其中
）

19．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
是棱
上

的一点，
是
的延长线与
的延长线的交点，且
∥平面
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的正弦值．

[来源:学。科。网]

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的右焦点为
，离心率
，
是椭圆

上的动点．

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）若直线
与
的斜率乘积
，动点
满足
,

（其中实数
为常数）。问是否存在两个定点
,
，使得
为定值？若

存在，求
,
的坐标，若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
.（
为常数，
为自

然对数的底，
）

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在区间
上无零点，求
的最小值；

（Ⅲ）若对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
，使得

成立，求
的取值范围．

[来源:学*科*网]

22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲

如图，
是⊙
的一条切线，切点为
，
都是⊙
的割线，

已知
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：
.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆
的圆心
，半径
．

（Ⅰ）求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）若
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
交圆

于
两点，求弦长
的取值范围．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
，且
的解集为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
．

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测

数学（理科）答案及评分标准

1．选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

D

C

D

C

A

C

B

A

C

C

A



2．填空题

13. 【答案】5 14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】

3．解答题

17.解：（Ⅰ）由已知可得，
， ……………2分

……………3分

……………4分

为等差数列，其中
. ……………5分

（Ⅱ）
……………6分

① ……………7分

② …………8分

① - ② 得

…………9分

……………10分

……………11分

∴
……………12分

18. 解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，

正确

错误

合计



20~30（岁）

10

30

40



30~40（岁）

10

70

80



合计

20

100

120



……………2分

根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2=
=3

∵
……………3分[来源:学_科_网Z_X_X_K]

∴有
90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．

……………4分

（Ⅱ）
的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000

则
……………5分

……………6分

……………7分

……………8分

……………9分

的分布列为

0

1000[来源:学&科&网Z&X&X&K]

3000

6000

11000

















……………10分

数学期望
[来源:学科网]

……………12分

19. 解：（Ⅰ）连接
交
于
∵
∥平面
，
面
，面
面
……………2分

∴
∥
又
为
的中点，

∴
为
中点∴
为
中点 ……………3分

∴
∴
；……………4分

（Ⅱ）∵在直三棱柱
中，

∴
……………5分

以
为坐标原点，以
,

所在直线建立空间直角坐标系如图所示。

由（Ⅰ）知
为
中点

∴点
坐标分别为

，
，
，
……………6分

设平面
的法向量

∵
且

∴
取

∴
……………8分

同理：平面
的法向量
……………10分

设二面角
平面角为

则
， ……………11分

∴
……………12分

20. 解：（I）有题设可知：
∴
……………2分

又
，∴
，……………3分

∴椭圆标准方程为
（4分）

（II