包头一中高三年级寒假补课测试考试

命题人：马凤花 审题人： 刘胤国

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.设集合A={x|1＜x＜4}，集合B ={x|
-2x-3≤0}, 则A∩（CRB）=

A (1,4) B. (3,4) C . (1,3) D. (1,2)∪（3,4）

2.在复平面内，复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.等比数列
的前
项和为
,已知
,
,则

A.
B.
C.
D.

4.给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

其中真命题的个数是

A.4 B. 3 C. 2 D. 1

5.
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

A.-40 B.-20 C.20 D.40

6. 如图
. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填

A. i≥10? B. i≥11?

C. i≤11? D. i≥12?

7.某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是

A.
B.
[来源:学科网]

C.
D.

8.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种.

A.150 B.300 C.600 D.900

9. 函数
的图像大致为( ).

10. 已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若O点到该截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120(，则球O的表面积为A． B． C．4( D．

11. 已知双曲线
的右焦点F，直线
与其渐近线交于A，B两点，且△
为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是A. （
） B. （1，
） C. （
） D. （1，
）

12．已知函数f(x)＝则方程f(x)＝ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范
围是（注：e为自然对数的底数）A．(-1,0]B．(－1，) C．(－1，0 ]∪(，] D． (－1，]

二、填空题 （本大
题共4个小题，每小题5分，共20分）]

13. 设x，y满足约束条件
，向量
，且a∥b，则m的最小值为__

14.已知向量
与
的夹角为120°且
,
,若
,且
,则实数
的值为__________.

15.如图，过抛物线
的焦点F的直线
依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是

16.数列
的首项为1，数列
为等比数列且
，若
，则

三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余12分,共70分）

17．（本小题满分12分）

已知锐角
的三个内角
所对的边分别为
.已知
.

(1)求角
的大小。(2)求
的取值范围。

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA＝PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO＝AD＝2BC＝2CD．

（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A-PC-O的余弦值．

19.（本小题满分12分）

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为

次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标













元件A

8

12

40

32

8



元件B[来源:学。科。网]

7

1
8

40

29

6



 （Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的
概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；

（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；

（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．

20.（本小题满分12分）

设椭圆
的焦点分别为
、
，直线
：
交
轴于点
，且
．

（1）试求椭圆的方程；（2）过
、
分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于
、
、
、
四点（如图所示）试求四边形
面积的最大值和最小值．

21．（本小题满分12分）

已知a为实常数，函数f(x)＝lnx－ax＋1．

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）．

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）求证：＜x1＜1，且x1＋x2＞2．（注
：e为自然对数的底数）

22.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点O为极点，以
轴正半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
.

（1）写出曲线C的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线
的最大距离，并求出这个点的坐标。

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

（Ⅰ）已知
、
都是正实数，求证：

（ⅱ）若不等式
对满足
的一切正实数

恒成立，求实数
的取值范围.

BDCBDBBCAADC -6,
，
，1024

17．解：（1）由正弦定理可知
………………2分

即
。

由余弦定理得
………………4分

所以
………………5分

（2）
，故

所以

=
=
…………………8分

因
为锐角三角形，所以

…………………10分

的取值范围为

18．解法一：（Ⅰ）设
，连接
,

分别是
、
的中点，则
， ……1分

已知
平面
，
平面
，所以平面
平面
，[来源:学科网ZXXK]

又
，
为
的中点，则
，

而平面
，所以
平面
，

所以
平面
，

又
平面
，所以
；
……3分

在
中，
，
；

又
，所以
平面
，

又
平面
，所以

. ……6分

（Ⅱ）在平面
内过点
作
交
的延长线于
，连接
，
，

因为

平面
，

所以
平面
，

平面

平面
，

所以

平面
，

平面
，所以


；

在
中，
，
是
中点，

故
；

所以
平面
，则

．

所以
是二面角
的平面角．

……10分

设
，

而
，

，则
，

所以二面角
的余弦值为
． ……12分

解法二：

因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
，

又
，
是
的中点，则
，且平面
，

所以
平面
． ……2分

如图，以O为原点，以
分别为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系.

……4分

，
，所以
．……6分

（Ⅱ）
，
，

设平面
的法向量为
，

则

令
，得
． ……8分

又
，
，[来源:学科网ZXXK]

所以平面
的法向量
， ……10分

，所以二面角
的余弦值为
． …12分

19（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题可知 元件A为正品的概率为
，元件B为正品的概率为
。……………2分

（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为
，则有次品5
件，由题意知
得到
，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件
，则
。……………………………6分

（ii）随机变量
的所有取值为150,90,30，-30，

则
，
，
，

，

所以
的分布列为：

150

90

30

-30















 …………………10分[来源:学&科&网]

…………………………12分

20．（本题12分）

解：（1）由题意，

为
的中点　　　　

即：椭圆方程为
…………………………………………(５分)

（2）当直线
与
轴垂直时，
，此时
，四边形
的面积
．同理当
与
轴垂直时，也有四边形
的面积
． 当直线
，
均与
轴不垂直时，设
:
，代入消去
得：
设

所以，
，所以，
，

同理
………………………9分

所以四边形的面积

令
因为
当
，

且S是以u为自变量的增函数，所以
．

综上可知，
．故四边形
面积的最大值为4，最小值为
．……12分

22．解：（Ⅰ）
的定义域为
．其导数
． ……1分

①当
时，
，函数在
上是增函数； ……
2分

②当
时，在区间
上，
；在区间
上，
．

所以
在
是增函数，在
是减函数． ……4分

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当
时，函数
在
上是增函数，不可能有两个零点

当
时，
在
是增函数，在
是减函数，此时
为函数
的最大值，当
时，
最多有一个零点，所以
，解得
，（6分）此时，
，且
，

令
，则
，所以
在
，
上单调递增，所以
，即
所以
的取值范围是
，
．
……8分

（ⅱ）证法一：

.设
.
.

当
时，
；当
时
，
；

所以
在
上是增函数，在
上是减函数.
最大值为
.

由于
，且
，所以
，所以
.

下面证明：当
时，
.设
，

则
.
在
上是增函数，所以当
时，

.即当
时，
..

由
得
.所以
.

所以
，即
，
，
.

又
，所以
，
.

所以
.

即
.

由
，得
.所以
，
． ……12分

（ⅱ）证法二
：

由（Ⅱ）①可知函数
在
是增函数，在
是减函数.

所以
.故

第二部分：分析:因为
,所以
.只要证明:
就可以得出结论

下面给出证明：构造函数：

则

所以函数
在区间
上为减函数.
,则
,又

于是
.又
由(1)可知

.即
． ……12分

23.（1）曲线C：
，直线
：
。。。。。。。。。。。。。5分

（2）

P（
） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

24.（1）证明：由

。。。。。。3分

又
、
都是正实数，

所以
、
，即

所以
。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）根据柯西不等式有

…………………………………………………3分

又
恒成立，
，

或
，即
或

，

所以
的取值范围是
………………………5分