吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考
试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；

3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集
，集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2．已知
为虚数单位，则复数

A．
B．
C．
D．

3．若
，则
是
成立的

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是

A.
B.
C.
D.

5．已知
，
，向量
与
的夹角为
，则

A．
B．
C．1 D．2

6．已知双曲线标准方程为
，则双曲线离心率为

A．
B．3 C．
D．

7．已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为

A．3 B．2 C．1 D．

8．等差数列
的前
项和为
，且
，则公差
等于

A．－1 B．1 C．2 D．－2

9．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是

A．－3

B．－

C． 

D． 2

10．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范

围是

A．
B．
C．
D．

11．若不等式


，对满足
的一切实数
恒成立，则实数
的

取值范围是

A．
B．

C．
或
D．
或

12．已知函数
，的部分图像如图，则

A． 1

B． 0

C．

D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

13．已知实数
满足
，则目标函数
的最大值为　　　　　.

14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视
图是腰长为4的两个全等的等

腰直角三角形，则这个几何体的体积为　　　　　.

15．已知点
为抛物线
的焦点，
为原点，点
是抛物线准线上一动点，
在

抛物线上，且
＝4．则
＋
的最小值是　　　　　.

16．定义域为
的函数
图象上两点
．
是

图象上任意一点，其中
.已知向量

，若不等式
对任意
恒成立，则称函数

在
上“k阶线性近似”．若函数
在
上“k阶线性近似”，则实数的k

取值范围为　　　　　.

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，
，求
的面积．

[来源:学*科*网]

18．（本小题满分12分）

“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响

门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），

选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外

调查中，发现参加比赛的
选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位：岁），其猜

对歌曲名称与否人数如图所示．

（Ⅰ）写出
列联
表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？

说明你的理由．（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005


0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 （Ⅱ）现计划在这次场外调查中按年龄段选取6名选手，并抽取3名幸运奖项，

求至少有一人年龄在20~30岁之间的概率．

（参考公式
其中
）

19．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
是棱
上

的一点，
是
的延长线与
的延长线的交点，且
∥平面
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求点
到平面
的距离．

[来源:Z|xx|k.Com]

20．（本小题满分12分）

已知函数
，
.（
为常数，
为自然对数

的底，
）

（Ⅰ）当
时，①求
的单调区间；②若对任意的
，存在
，使

，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若函数
在区间
上无零点，求
的最小值．

21．（本小
题满分12分）

已知椭圆
的右焦点为
，离心率
，
是椭圆

上的动点．

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）若直线
与
的斜率乘积
，动点
满足
,

（其中实数
为常数）。问是否存在两个定点
,
，使得
为定值？

若存在，求
,
的坐标，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点
在第一象限，且点
关于原点对称，点
在
轴上的射影为
，连接

并延长交椭圆于点
．证明：
．

[来源:Z_xx_k.Com]

22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲

如图，
是⊙
的一条切线，切点为
，
都是⊙
的割线，

已知
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：
.

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O为极点，
轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度

单位．已知直线
的参数方程为
(
为参数，
)，曲线C的

极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线C相交于A、B两点，当
变化时，求
的最小值．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
，且
的解集为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，且

，求证：
.

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测

数学（文科）答案及评分标准

1．选择题

1

2[来源:学|科|网Z|X|X|K]

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

B

A

C

B

C

B

D

B

C

C

C



2．填空题

13. 【答案】5 14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】

3．解答题

17.解：（Ⅰ）在
中由正弦定理
，易知：

. .……………2分

∴
.而角
为三角形内角，所以
…3分

∴
.∴
. .……………4分

又因为
∴
.
.……………6分

（Ⅱ）在
中，由余弦定理得：

，∴
. ……………8分

即
.∴
或
……………10分

而
.∴
……………12分

18. 解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，

正确

错误

合计



20~30（岁）

10

30

40



30~40（岁）

10

70

80



合计

20

100

120



……………3分

根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2=
=3

∵
…5分

∴有
90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…………6分

（Ⅱ）按照分层抽样方法可知：

20~30（岁）抽取：
（人）；30~40（岁）抽取：
（人） …7分

解：在上述抽取的6名选手中, 年龄在20~30（岁）有2人，年龄在30~40（岁）有4人。

………8分

年龄在20~30（岁）记为
；年龄在30~40（岁）记为
， 则从6名选手中任取3名的所有情况为:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、



共20种情况， …9分

其中至少有一人年龄在20~30岁情况有：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，共16种情况。…………10分

记至少有一人年龄在20~30岁为事件
，则
…11分

∴至少有一人年龄在20~30岁之间的概率为
。…………12分

19. 解：（Ⅰ）连接
交
于
∵
∥平面
，
面
，面
面
…2分

∴
∥
又
为
的中点，…4分

∴
为
中点∴
为
中点 …5分

∴
∴
；…………6分

（Ⅱ）因为
所以
，
…………8分

…………9分在
中,

…………11分

∴
…………12分

20. 解：（Ⅰ）①当
时，
则
.

令
得
；令
得

故
的单调递减区间为
，单调递增区间为
…………2分

②
所以
， …3分

当
时，
，所以
在
上单调递增

当
时，
，所以
在
上单调递减 …4分

则
；由①易知函数
。 …5分

若对任意的
，存在
，使
，只需

即
，所以
…………6分

（Ⅱ）∵函数
在区间
上不可能恒成立，故要使函数
在区间
上无零点，只要对
，
恒成立。即对
，
恒成立。…7分

令
（
）则
…8分

再令
，则
，∵
，∴

故函数
在区间
上单调递减，∴
…9分

即
，∴函数

在区间
上单调递增，∴
…10分

故只要
函数
在区间
上无零点，所以
…12分

21. 解：（I）有题设可知：
∴
(2分)

又
，∴
，(3分)

∴椭圆标准方程为
（4分）

（II）设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由
得

(x，y)＝(x1，y1)＋
(x2，y2)＝(x1＋
x2，y1＋
y2)，

即x＝x1＋
x2，y＝y1＋
y2. （5分）

因为点A、B在椭圆x2＋2y2＝2上，

所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，（6分）

故x2＋2y2＝(x＋
x＋2
x1x2)＋2(y＋
y＋2
y1y2)

＝(x＋2y)＋
(x
＋2y)＋2
(x1x2＋2
y1y2)

＝2＋2
+2
(x1x2＋2y1y2)．

设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，

由题设条件知kOA·kOB＝＝－，

因此x1x2＋2y1y2＝0，

所以x2＋2y2＝2＋2
. 即
(7分)

所以P点是椭圆
上的点，

设该椭圆的左、右焦点为F
1，F2，

则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值．

又因c＝

因此两焦点的坐标为F1(－
，0)，F2(
，0)．

所以存在两个定点F1(－
，0)，F2(
，0)．使得|PF1|＋|PF2|

（8分）

（Ⅲ）设
，有题设可知：

由题意可知：

，∴
③（9分）

④（10分）

将③代入④可得：
⑤

点A，D在椭圆x2＋2y2＝2上，

∴
（11分）

∴
，∴
（12分）

22. 证明：（Ⅰ）∵
是⊙O的一条切线，
为割线， …1分∴
， …3分

又∵
， …4分

∴
；…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）有
， …6分

∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE， …7分

∴∠ADC=∠ACE， …8分

∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE， …9分

∴GF∥AC。…（10分）

23. 【答案】（I）
；（II） 4.

解：（Ⅰ）∵
，∴
（2分）

又∵
，（4分）

∴
…（5分）

（Ⅱ）∵
，∴直线
经过抛物线的焦点。

将直线
的
参数方程代入到曲线C的直角坐标方程得：

， …（6分）

整理得：
…（7分）

∴
…（8分）

∴
…（9分）

又
，∴
…（10分）

24. 解：（Ⅰ）因为
，

所以
等价于
，…2分

由
有解，得
，且其解集为
． …4分

又
的解集为
，故
．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，又
，…7分∴
≥
=9． …9分

(或展开运用基本不等式)

∴
????????????????????????????????…．（10分）

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