襄阳市2014届高三第二次（3月）调研统一测试数学理试题

一、选择题（本大题共l0小题。每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知全集U=R，集合
，则图中阴影部分所表示的集合为

2．在复平面内，复数i（i-1）对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列命题的否定为假命题的是

B．任意一个四边形的四个顶点共圆

C．所有能被3整除的整数都是奇数

4．将函数y=sin2x（x∈R）的图像分别向左平移m（m>O）个单位，向右平移n（n>0）个单位，所得到的两个函数图象都与函数y=sin（2x+
）的图象重合，则m+n的最小值为

5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=6，S3=
，则公比q的值为

A．1 B．- C．1或- D．-1或-

6．右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．1 B．
C．
D．

7．在平面区域
内任取一点P（x，y），若（x，y）满足2x+y≤b的概率大于
，则b的取值范围是

A．（-∞，2） B．（0，2） C．（1，3） D．（1，+∞。）

8．已知抛物线y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为

A．x=-1 B．x=-2 C．x=1 D．x=2

9．给出下列命题：

①向量a、b满足|a|=|b|=|a-b|，则a、b的夹角为30°；

②a·b>0是向量a、b的夹角为锐角的充要条件；

③将函数y=|x-1|的图象向左平移一个单位，得到函数y=|x|的图象；

④在△ABC中，若
，则△ABC为等腰三角形．

以上命题正确的个数是

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图，偶函数f（x）的图像形如字母M，奇函数g（x）的图像形如字母N，若方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0，g（f（x））=0的实根个数分别为a、b、c、d，则a+b+c+d=

A．27 B．30 C.33 D．36

二．填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。）

（一）必考题（11-14题）。

11．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值 ．

12．某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在[1500，4500]元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图所示，则

（1）该单位职工的月收入在[3000，3500）之间的频率是 ▲ ；

（2）该单位职工的月收入的平均数大约是 ▲ ．

13．若存在实数x使以
成立，则常数a的取值范围是 ．

14．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即
）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．

（1）如果n=2，则按照上述规则施行变换后的第8项为 ▲

（2）如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为 ▲ ．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分。）

15．（选修4-1：几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是 ．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，过椭圆
（θ为参数）的右焦点，且于直线
（t为参数）平行的直线方程为 ．

三．解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本大题满分12分）

设a∈R，函数
满足
．

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
，求

f（A）的取值范围．

18．（本大题满分12分）

据《中国新闻报》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人，就是否“取消英语听力”的问题进行调查，调查统计的结果如下表：

应该取消

应该保留

无所谓



在校学生

2100

120

y



社会人士

600

x

z



已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为O．05．

（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应该在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ζ的分布列和数学期望．

19．（本大题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足
（a是常数且a>O,a≠2）,
．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}为等比数列，求{bn}的通项公式；

（3）在（2）的条件下，记
是否存在正整数m，使
都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

20．（本大题满分12分）

如图，正方形ABCD与梯形CDEF所在的平面互相垂直，CD⊥DE，CF∥DE，CD=CF=2，DE=4，G为AE的中点．

（1）求证：FG∥平面ABCD；

（2）求证：平面FAD⊥平面FAE；

（3）求平面FAE与平面ABCD所成锐二面的余弦值．

21．（本大题满分13分）

若中心在原点的椭圆C1：
与双曲线x2-y2=2有共同的焦点，且它们的离心率互为倒数，圆C2的直径是椭圆C1的长轴，C是椭圆的上顶点，动直线AB过点C且与圆C2交于A、B两点，CD垂直于AB交椭圆于点D．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积的最大值，并求此时直线AB的方程．

22．（本大题满分14分）

已知函数，f（x）=alnx-x2．

（1）当a=2时，求函数y=f（x）在[，2]的最大值；

（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x）在区间（0，3）上不是单调函数，求a的取值范围；

（3）当a=2时，函数h（x）=f（x）-mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0

参考答案及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：ACDBC　BDABB

二．填空题：11．9　　12．(1)0.25 (2)2900　　13．(－∞，3)　　14．(1)1 (2)6　 　15．
　　16．x-2y+1=0

三．解答题：

17．(1)解：
2分由
得：
，∴
4分∴
6分由
得：
(k∈Z) ∴f (x)的单调递减区间为：
(k∈Z) 8分

(2)解：∵
，由余弦定理得：
9分即
由正弦定理得：
即　
又sin A≠0，故
，∴
10分∵△ABC锐角三角形，∴
∴
，
∴
的取值范围为(1，2]． 12分

18．(1)解：∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05∴
，解得x = 60 2分∴持“无所谓”态度的人数共有3600－2100－120－600－60 = 720 4分∴应在“无所谓”态度抽取
人． 6分

(2)解：由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人∴在所抽取的6人中，在校学生为
人，社会人士为
人于是第一组在校学生人数ξ = 1，2，3 8分
，
，
，即ξ的分布列为：
∴
． 12分

19．(1)解：由
得：
∴
，a1 = a 1分当n≥2时，
2分
，∴
3分∴数列{an}是首项为a，公比为
的等比数列∴
4分

(2)解：
5分
6分若数列{bn}为等比数列，则2－3a = 0，
7分此时，bn = 3n 8分

(3)证：
9分∴

10分由
(n∈N*都成立得：
即
(n∈N*都成立∵m是正整数，∴m的值为1、2、3． 12分

20．(1)证法一：过G作GH∥ED，交AD于H∵G为AE的中点，∴
2分又CF∥DE，故GH∥FC因此GHCF是平行四边形，FG∥CH∴FG∥平面ABCD 4分

证法二：以
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，F(0，2，2)，G(1，0，2)，E(0，0，4) 2分∴
，平面ABCD的法向量
∵
，∴FG⊥DE∵FG不在平面ABCD内，∴FG∥平面ABCD． 4分

(2)证：
，
设平面FAD的法向量n = (x，y，z)，则
令y = 1，得n = (0，1，－1) 6分
设平面FAE的法向量m = (x，y，z)，则
令z = 1，得m = (2，1，1) 8分∵m·n = (0，1，－1)·(2，1，1) = 0∴m⊥n，故平面FAD⊥平面FAE． 10分

(3)解：由(2)知平面FAE的法向量m = (2，1，1)平面ABCD的法向量
∴
∴平面FAE与平面ABCD所成锐二面的余弦值为
12分

21．(1)解：双曲线x2－y2 = 2的焦点为(±2，0)，离心率为
2分由题意，c = 2，
，解得：
∴b2 = a2－c2 = 45∴椭圆方程为
4分

(2)解：当直线AB斜率不存在时，不符合题意当AB斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y = kx + 2，直线CD的方程为
圆心(0，0)到直线AB的距离为
5分∴直线AB被圆C2所截得的弦长
6分由
得：
∴
7分故
8分∴
9分令
，则
故
11分当且仅当
，即
时，等号成立此时
12分当直线AB斜率为0，即AB∥x轴时，
∴△ABD面积的最大值为
，这时直线AB的方程为
． 13分

22．(1)解：当a = 2时，
函数y = f (x)在[
，1]是增函数，在[1，2]是减函数 3分所以
=－1 4分

(2)解：∵
，∴
5分∵g (x)因为在区间(0，3)上不是单调函数，∴
在(0，3)上有实数解，且无重根由
得：2x2－ax－a = 0，有
，x∈(0，3) 6分又当a =－8时，
有重根x =－2；a = 0时，
有重根x = 0 7分综上，a的取值范围是
． 8分

(3)解：当a = 2时，
，
∵h (x) = f (x)－mx的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)∴f (x)－mx = 0有两个实根x1、x2，∴
，两式相减得：
∴
9分于是

10分∵
，
要证：
，只需证：
只需证：
(*) 11分令
(0 < t < 1)，(*)化为
令
，则

，即
12分∴
13分∵u (t)在(0，1)上单调递增，u (t) < u (1) = 0∴
，即
∴
14分