百校联盟14届重点中学三年模拟 数学 主观题（二十一）

1. （2013.辽宁五校协作体冲刺）在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线
的极坐标方程为
（
）．

（Ⅰ）化曲线
、
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）设曲线
与
轴的一个交点的坐标为
（
，0）（
），经过点
作曲线
的切线
，求切线
的方程

2. （2012.浙江宁波二模）

已知A为锐角△ABC的一个内角，满足
。

（I）求角A的大小。

（II）若BC边上的中线长为3，求△ABC面积的最大值。

3. （2012.河北石家庄二模）

4. （2010．上海崇明县二模）

5. （2014.江西南昌调研）

6. （2013.山东高考）

1. 解：（Ⅰ）曲线
：
；曲线
：
；……3分

曲线
为中心是坐标原点，焦点在
轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线
为圆心为
，半径为
的圆……5分

（Ⅱ）曲线
：
与
轴的交点坐标为
和
，因为
，所以点
的坐标为
，……7分

显然切线
的斜率存在，设为
，则切线
的方程为
，

由曲线
为圆心为
，半径为
的圆得
，解得
，

所以切线
的方程为
或
……10分

2.

3.

4.

5. 解：（1）
， ……………………2分

由
得到：
……………………………………………………………………3分

①当
时，
的解为
，

所以函数
在区间
上单调递增；…………………………………………………6分

②当
时，
的解为
或
，

所以函数
在区间
和区间
上单调递增，在区间
上单调递减。…………………………………………………………………8分

（2）当
时，
， ………………………………………………9分

由（1）可知，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递减，

且函数
在
上的最小值为
，由值域为
得到

又
，所以函数
在区间
上的最大值为
，………………………………12分

问题转化为：是否存在
，满足
？

设
，因为
，所以存在
，使得
即
，

即存在
，使得函数
在区间
上的值域恰好
，满足条件的
。…14分

6.