绝密★启用前

揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试

数学(理科) 2014.3.22

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足：
，则

A．1 B．2 C．
D．5

2．设函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，则

A.
B.
C.
D.

3．设平面
、
，直线
、
，
，则“
” 是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4．下列函数是偶函数，且在
上单调递增的是

A.
B.

C.
D.

5．一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的

体积为

A.
B.
C.
D.

6．如图(2)所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值

相等的x值个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

7．设点
是函数
图象上的任意一点，

点
(
)，则|
的最小值为

A.
B.
C.
D.
.

8．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为
，用
表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有
；②存在集合A，使得
；③用
表示空集，若
则
；④若
则
；⑤若
则
其中正确的命题个数为

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9．若点
在函数
的图象上，则tan
的值

为 ．

10．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机

动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如

图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速

度为60 km/h~120 km/h，则该时段内过往的这100辆机

动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x值为 ．

11．已知向量
、
满足
，且
，则
与
的夹角为 ．

12．已知首项为正数的等差数列
中，
．则当
取最大值时，数列
的公差

．

13．从
中任取一个数x，从
中任取一个数y，则使
的概率为 ．

（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）

14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线

（
为参数且
）与曲线

(
是参数且
)，则直线
与曲线
的交点坐标为 .

15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB是半圆的直径，C是AB

延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，

且E是OB的中点，则BC的长为 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的定义域和最小正周期；

（2）若
求
的值．

17. （本小题满分12分）

图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．

（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率;

（2）设
是此人停留期间空气重度污染的天数，求
的分布列与数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图(6)，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，

过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面

AEH交SC于K点，且AB=1，SA=2．

（1）设点P是SA上任一点，试求
的最小值；

（2）求证：E、H在以AK为直径的圆上；

（3）求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知正项数列
满足:
，数列
的前
项和为
，且满足
，

．

(1) 求数列
和
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
，求证：
．

20．（本小题满分14分）

如图(7)所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E

上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，

且
，|BC|＝2|AC|． (1)求椭圆E的方程；

(2) 在椭圆E上是否存点Q，使得
？

若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．

（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作
的两条

切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：
为定值．

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）当
且
时，证明：
；

（2）若对
，
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）当
时，证明：
．

揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：DCBD DCCB

解析：5.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为

6．由框图知，x与y的函数关系为
，由
得

若
，则
或
，若
，则
，若
，显然
，故满足题意的x值有0,1,3，故选C.

7．如图示，点P在半圆C上，点Q在直线
上，过圆心

C作直线的垂线，垂足为A，则
,故选C.

8．由
的定义可知①、④正确，又若
则
，设
则
所以②错误，⑤正确，故选B。

二、填空题：9．
；10．15、0.0175；11．
；12．-3；13．
；14．（1，3）; 15.
.

解析：10.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有
（辆），x的值=
.

11.由
得

，
．

12.设数列
的公差为
，由
得
，则
，因
故
，当且仅当
，即
“=”成立，这时
取得最大值，由
得
，所以
。

13.如右图，使
是图中阴影部分，故所求的概率

14．把直线
的参数方程化为普通方程得
，把曲线
的参数方程化为普通方程得
，由方程组
解得交点坐标为（1，3）【或将曲线
的参数方程化为普通方程得
后将
代入解得
，进而得点坐标为（1，3）】

15．
DE为OB的中垂线且OD=OB，

为等边三角形，
，

三.解答题：

16．解：（1）由
解得
，

所以函数
的定义域为
------------------------2分

---4分

的最小正周期
-----------------------------------6分

（2）解法1：由
---------------------8分

且
，
------------------------------------10分

∴
------------------------------------12分

解法2：由
得

，

代入
得

，-----8分

∴
，又
，
---------------------------------10分

∴
------------------------------------12分

17.解：设
表示事件“此人于2月
日到达该市”（
=1,2，…，12）.

依题意知,
,且
.---------------------------------------2分

（1）设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则
,

所以

.

即此人到达当日空气质量重度污染的概率为
.--------------------------------------5分

(2)由题意可知，
的所有可能取值为0,1,2，3且------------------------------------6分

P(
=0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=
,-------------------7分

P(
=2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =
,-------------------------------8分

P(
=3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) =
,-------------------------------9分

P(
=1)=1－P(
=0)－P(
=2)－P(
=3)=
,--------------10分

(或P(
=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=
)

所以
的分布列为：

0

1

2

3



P













-----------------------------------------------------------------11分

故
的期望
．-------------------------------12分

18．（1）将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，

则当B、P、H三点共线时，
取最小值，这时，
的

最小值即线段BH的长，--------------------------------------------1分

设
,则
，

在
中，∵
,∴
,--------------------2分

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴
.------------------------------------------------------------4分

（2）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，又
平面SAB，∴EA⊥BC，-------------------------------6分

又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，-------------------------------------------------------7分

又
平面SBC，∴EA⊥EK， -------------------------------------------------------8分

同理 AH⊥KH，∴E、H在以AK为直径的圆上---------------------------------------9分

（3）方法一：如图，以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如右图示，----------------------------------------------------------------------------10分

则S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，∴SC⊥平面AEKH，

为平面AEKH的一个法向量，-------------------11分

为平面ABCDF的一个法向量，-------------------12分

设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为
，

则
----------------13分

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值
---14分

【方法二： 由
可知
,故
,

又∵
面AEKH，

面AEKH, ∴
面AEKH. ------------------------10分

设平面AEKH
平面ABCD=l，∵
面AEKH，

∴
-------------------------------------------------------------11分

∵BD⊥AC，∴
⊥AC，

又BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，又
平面SAC，

∴BD⊥AK， ∴
⊥AK，

∴
为平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的一个平面角，--------------13分

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为
．------------------------14分】

19．解：（1）由
,得
. ---------2分

由于
是正项数列,所以
.---------------------------------3分

由
可得当
时，
，两式相减得
，------------5分

∴数列
是首项为1，公比
的等比数列，
----------------------------------7分

（2）∵
---------------------------------8分

方法一：∴

--------------------------------------------------------------11分

---------------------------------------------------------------------------------------14分

【方法二：∵
-----------------11分

----------------------------------------------14分】

20.解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长
，则A(2，0)，

设椭圆E的方程为
-----------------------2分　

由椭圆的对称性知|OC|＝|OB| 又∵
，|BC|＝2|AC|

∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形，

∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1) ，---------------------4分

将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得

∴所求的椭圆E的方程为
----------------------------------------------5分

（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得
，设
，则

即点Q在直线
上，-----------------------------------------------------------7分

∴点Q即直线
与椭圆E的交点，

∵直线
过点
，而点椭圆
在椭圆E的内部，

∴满足条件的点Q存在，且有两个．------------------------------------------------------9分

【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得
，设
，则

即
，--------①-------------------------------------------------7分

又∵点Q在椭圆E上，∴
，-----------------②

由①式得
代入②式并整理得：
，-----③

∵方程③的根判别式
，

∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------9分】

（3）解法一：设点
，由M、N是
的切点知，
,

∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------10分

且圆的直径为OP,则圆心为
，

其方程为
，------------------------------11分

即
-----④

即点M、N满足方程④，又点M、N都在
上，

∴M、N坐标也满足方程
---------------⑤

⑤-④得直线MN的方程为
，------------------------------12分

令
得
，令
得
，----------------------------------13分

∴
，又点P在椭圆E上，

∴
，即
=定值.-----------------------------------14分

【解法二：设点
则
----------10分

直线PM的方程为
化简得
--------------④

同理可得直线PN的方程为
---------------⑤-------------------11分

把P点的坐标代入④、⑤得

∴直线MN的方程为
，------------------------------------------------------12分

令
得
，令
得
，--------------------------------------------13分

∴
，又点P在椭圆E上，

∴
，即
=定值．---------------------------------------------14分】

21.（1）证明：要证
，即证
，--------------------1分

令
则
------------3分

∴
在
单调递增，
，

，即
成立．----------------------4分

（2）解法一：由
且
可得
---------------------------------------5分

令
---------------------------------------------------------6分

由（1）知
-----------------------------------8分

函数
在
单调递增，当
时，

．----------------------------------------------------------9分

【解法二：令
，则
，-------------------5分

当
时，
，函数
在
上是增函数，有
，------6分

当
时，∵函数
在
上递增，在
上递减，

对
，
恒成立，只需
，即
．---------------7分

当
时，函数
在
上递减，对
，
恒成立，只需
，

而
，不合题意，-----------------------------------------------------------8分

综上得对
，
恒成立，
．------------------------9分】

【解法三：由
且
可得
---------------5分

由于
表示两点
的连线斜率，-----------------6分

由图象可知
在
单调递减，

故当
时，
--------------------------------8分

即
-------------------------------------------------9分】

（3）当
时，
则
，

要证
，即证
--------------------10分

由（1）可知
又

-------------11分

∴

∴

，-------------------------------------------13分

故
得证．------------------------------------------14分