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揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试

数学(文科) 2014.3.22

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足：
，则

A．
B．
C．
D．

2．设函数
的定义域为
，则

A.
B.
C.
D.

3．设平面
、
，直线
、
，
，则“
” 是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4．下列函数是偶函数，且在
上单调递增的是

A.
B.

C.
D.

5．如图(1)所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值

相等的所有x值分别为

A.1、2、3 B.0、1 C.0、1、3 D.0、1、2、3、4. 图（1）

6．一简单组合体的三视图如图（2）所示，则该组合体的

体积为

A.
B.
C.
D.

7．已知向量
、
满足
，且
，

则
与
的夹角为 图（2）

A.
B.
C.
D.

8．若
、
满足约束条件
，则
的取值范围是

A.[0，4] B.[4，6] C.[2，4] D. [2，6]

9．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为
，则双曲线C的离心率为

A.
B.
C.
D.

10．从
中任取一个数x，从
中任取一个数y，则使
的概率为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11－13题）

11．若点
在函数
的图象上，则tan
的值

为 ．

12．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机

动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如

图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速

度为60 km/h~120 km/h，则该时段内过往的这100辆机

动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x值为 ．

13．对于每一个正整数
，设曲线
在点（1,1）处的切线与
轴的交点的横坐标为
，令
，则
= ．

（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）

14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线

（
为参数且
）与曲线

(
是参数且
)，则直线
与曲线
的交点坐标为　　　 .

15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB是半圆的直径，C是AB

延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，

且E是OB的中点，则BC的长为 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的定义域和最小正周期；

（2）若
求
的值．

17. （本小题满分12分）

图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．

（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;

（2）求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．

18．（本小题满分14分）

如图(6)，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，

过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面

AEH交SC于K点，
是SA上的动点，且AB=1，SA=2．

（1）试证明不论点P在何位置，都有
；

（2）求
的最小值；

（3）设平面AEKH与平面ABCD的交线为
，求证：
．

19．（本小题满分14分）

.已知曲线C的方程为：
为常数）．

（1）判断曲线C的形状；

（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；

（3）设直线
与曲线C交于不同的两点M、N，且
，求曲线C的方程．

20．（本小题满分14分）

已知正项数列
满足:
，数列
的前
项和为
，且满足
，

．

(1) 求数列
和
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
，求证：
．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，(
)．

（1）若曲线
在点
处的切线平行于
轴，求
的值；

（2）当
时，若对
，
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）设
，在（1）的条件下，证明当
时，对任意两个不相等的正数
，有
．

揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考

数学(文科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：CDBDC DADBA

解析：

6.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为

7.由
得

，
．

8. 如右图知，满足条件
的点为图中阴影部分，当

过点（2,0）时，z取得最小值2，当
过点（2,2）时，z取得最

大值6，故选D.

9.不妨设双曲线的焦点在x轴，因
，故
,

,选B.

10.如右图，使
是图中阴影部分，故所求的概率

.

二、填空题：11．
；12．15、0.0175； 13．-2； 14．（1，3）; 15.
.

解析：12.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有
（辆），x的值=
.

13．由
得
，则曲线在点（1,1）处的切线方程为
，令
得
，
，

14．把直线
的参数方程化为普通方程得
，把曲线
的参数方程化为普通方程得
，由方程组
解得交点坐标为（1，3）

15．
DE为OB的中垂线且OD=OB，

为等边三角形，
，

16．解：（1）由
解得
，

所以函数
的定义域为
------------------------2分

---4分

的最小正周期
-----------------------------------6分

（2）解法1：由
---------------------8分

且
，
------------------------------------10分

∴
------------------------------------12分

【解法2：由
得

，

代入
得

，-----8分

∴
，又
，
---------------------------------10分

∴
------------------------------------12分】

17.解：（1）在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率
.-----------------------5分

（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”.--------------------6分

“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”.其概率为
，----------------------------------------------8分

“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”.其概率为
，-----------------------------------10分

所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为.P=
.-----------12分

18．（1）证明：∵底面ABCD是正方形∴
,------------------------------1分

∵SA⊥底面ABCD,
面
，∴
,---------------------2分

又
∴
平面
,

∵不论点P在何位置都有
平面
,

∴
．----------------------------------------------3分

（2）解：将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，

则当B、P、H三点共线时，
取最小值，这时，
的

最小值即线段BH的长，--------------------------------------------4分

设
,则
，

在
中，∵
,∴
,--------------------6分

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴
．------------------------------------------------------------8分

(3) 连结EH，∵
,
,∴
，

∴
，---------------------------------------------------------------9分

又∵
,∴
，∴
，

∴
，-----------------------------------------------------------10分

∴
, ∴
,---------------------------------------12分

又∵
面AEKH，
面AEKH, ∴
面AEKH. ----------------------------13分

∵平面AEKH
平面ABCD=l， ∴
-----------------------------------------------------14分

19.解：（1）将曲线C的方程化为


--2分

可知曲线C是以点
为圆心，以
为半径的圆．-----------------------------4分

（2）△AOB的面积S为定值．-------------------------------------------------------------------5分

证明如下：

在曲线C的方程中令y=0得
，得点
，---------------------------6分

在曲线C的方程中令x=0得

，得点
，--------------------------7分

∴
（为定值）．----------------------------------------9分

（3）∵圆C过坐标原点，且

∴圆心
在MN的垂直平分线上，∴
，
，--------------------11分

当
时，圆心坐标为
，圆的半径为
，

圆心到直线
的距离

，

直线
与圆C相离，不合题意舍去，------------------------------------------------------------13分

∴
，这时曲线C的方程为
．-----------------------------------14分

20．解：（1）由
,得
. ---------2分

由于
是正项数列,所以
.---------------------------------3分

由
可得当
时，
，两式相减得
，------------5分

∴数列
是首项为1，公比
的等比数列，
----------------------------------7分

（2）方法一：∵
---------------------------------8分

∴

--------------------------------------------------------------11分

---------------------------------------------------------------------------------------14分

【方法二：∵
-----------------------11分

----------------------------------------------14分】

21. 解：（1）∵
，由曲线
在点
处的切线平行于
轴得

，∴
------------------------------------------------2分

（2）解法一：令
，则
，-------------------------3分

当
时，
，函数
在
上是增函数，有
，-----------4分

当
时，∵函数
在
上递增，在
上递减，

对
，
恒成立，只需
，即
．----------------------------5分

当
时，函数
在
上递减，对
，
恒成立，只需
，

而
，不合题意，----------------------------------------------------------------6分

综上得对
，
恒成立，
．------------------------------------------7分

【解法二：由
且
可得
---------------3分

由于
表示两点
的连线斜率，

由图象可知
在
单调递减，-----------------5分

故当
时，
--------------------------------6分

即
-------------------------------------------------7分】

（3）证法一：由

得

--------------------------------------8分

----------------------------------------------9分

由
得

-------①---10分

又

∴
---------------------------------------------------②---------------11分

∵
∴

∵
∴
------------------------------③---------------12分

由①、②、③得

即
．--------------------------------------------------------------14分

【证法二：由

-----9分

---------------------------------------10分

∵
是两个不相等的正数，

∴
∴
-------------------------------------------------11分

∴
，又

∴

，即
．----------------14分】