广东省梅州市2014届高三第二学期3月总复习质检试卷（2014.3）

数学（理科）

一、选择题（40分）

1、设集合M＝{x|x2＋x－2＜0，
}，N＝{x|0＜x≤2}，则M∩N＝

　A、（－1,2）　　　　B、（－2,1］　　　C、（0,1］　　　D、（0,1）

2、在复平面内，复数
的对应点位于

　A、第一象限　　　　B、第二象限　　　C、第三象限　　D、第四象限

3、下列命题中的假命题是

4、已知向量
＝

　A、2　　　　　　　　B、－2　　　　　C、－3　　　　　D、3

5、阅读右面的程序框图，则输出的S＝

　A、14　　　　　　　 B、20　　　　　 C、30　　　　　 D、55

6、已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是

　A、
　　　　　　　

B、

C、
　　　　　

D、

7、如图，设D是图中连长为2的正方形区域，E是函数y＝x3的图象与x轴及x＝±1围成的阴影区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为

　A、
　　　　　　　　B、
　　　　　C、
　　　　　D、

8、在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质；

（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a∈R，a*0=a；（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）－2c．关于函数f(x)＝(2x)*
的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为(?∞，?
)，（
，+∞)．其中所有正确说法的个数为

A、0　　　　　　　　B、1　　　　　　　C、2　　　　　　D、3

二、填空题（30分）

（一）必做题（9－13题）

9、函数
，则f（f（0））的值为＿＿＿＿

10、
的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）。

11、已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆
的长轴的端点、焦点，则双曲线C的方程是＿＿＿＿

12、已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0 }，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，

A∪B＝R，则
的最小值为＿＿＿＿

13、已知函数f（x）＝x－［x］，其中［x］表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f（x）＝kx＋k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是＿＿＿＿

（二）选题题（14－15题，只能选做一题）

14（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是
（参数t
R），圆C的参数方程是
（参数θ
R），则圆C的圆心到直线l的距离为____________．

15.（几何证明选讲选做题）如右图，从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD，PCD过圆心O，已知PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于＿＿＿＿

三、解答题（共80分）

16、（本小题满分12分）已知函数
的部分图象如图所示。

（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；

(2)△ABC的内角分别是A，B，C，若f（A）＝1，cosB＝
，求sinC的值。

17、（本小题满分12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）请根据图中所给数据，求出a的值；（2）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；（3）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．

18、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，

ABCD为平行四边形，BC⊥平面PAB，AB＝BC＝
PB，

∠APB＝30°，M为PB的中点。

（1）求证：PD∥平面AMC；

（2）求锐二面角B－AC－M的余弦值。

19、（本小题满分14分）设等比数列{
}的前n项和为Sn，已知
。

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）在
与
之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为d的等差数列。

（I）在数列{
}中是否存在三项
（其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由；

（II）求证：

20、（本小题满分14分）如图，椭圆
的左顶点为A，M是椭圆C上异点A的任意一点，点P与点A关于点M对称。

（1）若点P的坐标为
，求m的值；

（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围。

21、（本小题满分14分）已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）。

（1）当a＝－
，求函数f（x）的单调区间；

（2）当
时，函数y＝f（x）图象上的点都在
所表示的平面区域内，求实数a的取值范围。

（3）求证：
e为自然对数的底数）

数学（理科）参考答案

选择题：（本题共有8小题，每题5分，共计40分）

DBBCC ABB

解析：8．在（3）中，令c=0，则
容易知道①、②不正确，而
易知函数
的单调递增区间为
，选B．

填空题：（本题共有6小题，每题5分，共计30分）

（一）必做题（9～13题）

9．1 10. 80 11．
12.
13.

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．
15．

解析：13. 关于
的方程
有三个不同的实数根，转化为
，
，两个函数图像有三个不同的交点，函数
的图像如图，函数
恒过定点为
，观察图像易得：
.

15.设半径为
，则
,
.根据割线定理可得
，即
，所以
，所以
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：（1）由图象最高点得A=1， ……………1分

由周期

. …………2分

当
时，
，可得
，

因为
，所以
．

. …………4分

由图象可得
的单调减区间为
. ……6分

（2）由（I）可知，
,

，
，

. …………8分

. ……………9分

…………10分

.

. ……12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）根据频率分布直方图中的数据，可得

，

所以
． …………………2分

（2）学生成绩在
内的共有40×0.05=2人，在
内的共有40×0.225=9人，

成绩在
内的学生共有11人． ……………4分

设“从成绩在
的学生中随机选3名，且他们的成绩都在
内”为事件A，

则
．

所以选取的3名学生成绩都在
内的概率为
． ………6分

（3）依题意，
的可能取值是1，2，3． ………………7分

；

；

． ……………10分

所以
的分布列为

1

2

3














． …………………12分

18．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，

ABCD为平行四边形，BC⊥平面PAB，AB＝BC＝
PB，

∠APB＝30°，M为PB的中点。

（1）求证：PD∥平面AMC；

（2）求锐二面角B－AC－M的余弦值。

解：（1）证明：连接
，设
与
相交于点
，连接
，

??∵?四边形
是平行四边形，∴点
为
的中点． ………… 2分

∵
为
的中点，∴
为
的中位线，

∴
((
.????????? ………… 4分

∵
，

∴
((
．????? ……………6分

?（2）不妨设
则
.

在
中,
,

得
,

即
,且
. ………………………8分

∵
平面
，
平面
,?故
，

且
, ∴
.

取
的中点
，连接
，则
((
，且
．…………10分???

∴
．
平面
,
.

作
，垂足为
，连接
，
，

∴
，∴
．

∴
为二面角
的平面角．? ………………12分

在
中,
,得
.

在
中，
.

∴?二面角
的余弦值为
．???? ………… 14分

19．（本小题满分14分）

解：（1）由
,

可得：
,

两式相减：
. ………………2分

又
,

因为数列
是等比数列，所以
，故
.

所以
. ………………4分

（2）由（1）可知
，

因为：
，故：
. ………………6分

（Ⅰ）假设在数列
中存在三项
（其中
成等差数列）成等比数列，

则：
，即：
,

（*） …………8分

因为
成等差数列，所以
,

（*）可以化简为
，故
，这与题设矛盾.

所以在数列
中不存在三项
（其中
成等差数列）成等比数列.…10分

（Ⅱ）令
，

,

…………11分

两式相减：

…………13分

. ………………14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）依题意，
是线段
的中点，

因为
，

所以 点
的坐标为
． ………2分

由点
在椭圆
上，

所以
，解得
． …………4分

（2）设
，则
，且
． ① ………5分

因为
是线段
的中点，

所以
． ………………7分

因为
，

所以
． ② ………………9分

由 ①，② 消去
，整理得
． ………………11分

所以
， ……13分

当且仅当
时，上式等号成立．

所以
的取值范围是
． ……………14分

21.（本小题满分14分）

解：（1）当
时，
（
），

（
）， ………1分

由
解得
，由
解得
．

故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
． ………3分

（2）因函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内，则当
时，

不等式
恒成立，即
恒成立，

设
（
），只需
即可． …… 4分

由

，

（ⅰ）当
时，
，当
时，
，

函数
在
上单调递减，故
成立． ………5分

（ⅱ）当
时，由
，因
，所以
，

①
，即
时，在区间
上，
，则函数
在
上单调递增，

在
上无最大值（或：当
时，
），此时不满足条件；

②若
，即
时，函数
在
上单调递减，

在区间
上单调递增，同样
在
上无最大值，不满足条件． ………8分

（ⅲ）当
时，由
，∵
，∴
，

∴
，故函数
在
上单调递减，故
成立．

综上所述，实数
的取值范围是
． ………10分

（3）据（2）知当
时，
在
上恒成立.

（或另证
在区间
上恒成立）， ………11分

又
，

∵

，

. ………14分