百校联盟14届重点中学三年模拟 数学 主观题（十八）

1. （2013.包头一中三模）在直角坐标系中，圆C的方程是
，圆心为C．在以坐标原点为极点,以
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：
与圆C相交于
两点．

（1）求直线AB的极坐标方程；

（2）若过点C(2,0)的曲线C2:
(
是参数)交直线AB于点D，交
轴于点E，求|CD|:|CE|的值.

2. （2012.河北唐山三模）如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，

观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点

可以观察到点A、C：找到一个点E，从E点可以观察到点B、C。并测

得以下数据：CD=CE=100m，∠ACD=90°，∠ACB=45°，∠BCE=75 °，

∠CDA=∠CEB=60°，求A、B两 点之间的距离

3.（2012.云南玉溪一中第三次月考）如图，在长方体
，中，
，点
在棱AB上移动.

（1）证明：
；

（2）当
为
的中点时，求点
到面
的距离。

4. （2013.重庆南开中学期末）

5. （2014.浙江温州一模）抛物线
在点
，
处的切线垂直相交于点
，直线
与椭圆
相交于
，
两点．

（Ⅰ）求抛物线
的焦点
与椭圆
的左焦点
的距离；

（Ⅱ）设点
到直线
的距离为
，试问：是否存在直线
，使得
，
，

成等比数列？若存在，求直线
的方程；若不存在，请说明理由．

6. （2012.浙江新高考联盟二联 理）已知
，函数
，
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围

1. 解：（1）在以坐标原点为极点,以
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,

极坐标与直角坐标有关系:
或
， ………………………1分

所以圆
的直角坐标方程为
， …………………………………2分

联立曲线C:
，得
或
，

即不妨令
，从而直线AB的直角坐标方程为:
，

(此处如下解法也可:联立曲线
与
,消去
与
项,得
)，

所以
，即
，……………………………………4分

所以直线AB的极坐标方程为
，
. ………………………………5分

（2）（方法一）由(1)可知直线AB的直角坐标方程为
， …………………6分

依题令交点D
则有
，

又D在直线AB上，所以，
，解得
，

由直线参数方程的定义知|CD|=|
|
， …………………………………8分

同理令交点E
，则有
，

又E在直线
上，所以
，解得
，

所以|CE|=|
|
， …………………………………………………………9分

所以|CD|:|CE|=
. …………………………………………………………10分

（方法二）将曲线C2:
(
是参数)化为普通方程:
， ………6分

将其联立AB的直线方程:
，解得:
,从而D
，

再将曲线C2与直线
联立,解得
,从而E
，

这样|CD|=
=
， ………………………………………8分

|CE|=
=
， …………………………………………9分

从而|CD|:|CE|=
. ……………………………………………………10分

2. 连结AB．在△ACD中，CD＝100m，∠ACD＝90(，∠CDA＝60(，

则AC＝CDtan60(＝100； …4分

在△BCE中，CE＝100m，∠BCE＝75(，∠CEB＝60(，

则∠CBE＝45(，BC＝＝50；…8分

在△ABC中，AC＝100，BC＝50，∠ACB＝45(，

则AB＝＝50

故A、B两点之间的距离为50．

3. 解：以
为坐标原点，直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，设
，则
…………2分

（1）
………………6分

（2）因为
为
的中点，则
，从而
，

，设平面
的法向量为
，则

也即
，得
，从而
，所以点
到平面
的距离为

………………………………………………12分

4.

5.

6. 解：（Ⅰ）当
时，
，（2分）

，
，（4分）王

又
，
曲线
在点
处的切线方程为：

，即：
．（6分）

（Ⅱ）由
得

①当
时

，
，∴
在
上递减，

∴
，∴
，此时
不存在；（ 8分）

②当
时

若
时，
由①得
在
上递减，

∴
，此时
（9分）

若
时

令
得
，又
在
递增，故

∴
，当

时
,∴
在
递增，（12分）

∴
王

，
，∴
，（13分）

又
， ∴
王

综上知，实数
的取值范围
（15分）