冀州中学2014届高三一轮复习检测（3）

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：每小题4分，共60分，

1.设集合
，则
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知复数z满足
为虚数单位），则复数
所对应的点所在象限为 （ ）

A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.下列说法正确的是 （ ）

A. 命题“
使得
”的否定是：“
”

B. “
”是“
在
上为增函数”的充要条件

C. “
为真命题”是“
为真命题”的必要不充分条件

D. 命题p：“
”，则p是真命题

4．若
,则函数
的两个零点分别位于区间( )

A
和
内 B.
和
内 C．
和
内 D．
和
内

5．等差数列
中，
，则
（ ）

A．10 B．20 C．40 D．2+log25

6.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）

7. 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P(B|A)＝（ ）

A．
B．
C．
D．

8.设函数
，则下列关于函数
的说法中正确的是（ ）

A.
是偶函数 B.
最小正周期为π

C.
图象关于点
对称 D.
在区间
上是增函数

9.在
的展开式中，各项系数之和为,各项的二项式系数之和

为，且
，则展开式中常数项为( )

A.6 B.9 C.12 D.18

10.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( )

A. 若m//n，nα，则m// α

B. 若α⊥β, α
β=m, n⊥m ，则n⊥α.

C.若 l⊥n ，m⊥n, 则l//m

D. 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β

11．已知双曲线
的两条渐近线均和圆C:
相

切,则该双曲线离心率等于( )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），

要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，

则不同的涂色种数有（ ）

A．96种 B．72种 C．108种 D．120种

13.高为
的四棱锥
的底面是边长为1的正方形，点
、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ( ) A．
B.
C．
D.

14. 已知集合
,若对于任意
,存在
,使

得
成立,则称集合
是“集合”. 给出下列4个集合:

①
②

③
④

其中所有“集合”的序号是 ( )A．①③ B．①④ C．②④ D．②③④

15.定义在（0，
）上的函数
是它的导函数，且恒有
成立，则（　 ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

16. 在等比数列
中，
，且
，则
的最小值 ______

17.如右图所示的程序框图的输出值
，则输入值
。

18.已知O是坐标原点，点A
，若点M
为平面区域
上的一个动点，则
的最小值是 .

19.设抛物线
的焦点为，过点
的直线
与抛物线
相交于
两点，若
，则直线
的斜率
.

20.曲线
是平面内到定点
和定直线
的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是______．

① 曲线
关于轴对称；

② 若点
在曲线
上，则
；

③ 若点在曲线
上，则
.

三、解答题：本大题共6道题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.（本小题满分12分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120?，BC＝AC＝3，点D在线段AB上.

⑴若
，求BD的长;

⑵若点E在线段DA上，且∠DCE＝30?，问:当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小?并求出面积的最小值.

22．(本题满分12分)

在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，

BC＝2AD＝4，AB＝CD＝
．

(Ⅰ) 证明：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ) 若二面角A－PC－D的大小为60°，求AP的值．

23．(本题满分12分) 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵.早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．

（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？

（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？

（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

24．(本题满分12分) 已知两点
及
，点在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)如图，动直线
与椭圆
有且仅有一个公共点，

点
是直线
上的两点，且
，
．

求四边形
面积
的最大值．

25．(本题满分12分) 已知函数f（x）＝2lnx+ax2－1（a∈R）

(Ⅰ)求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a＝1，

（i）若不等式f（1+x）+f（1－x）＜m对任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范围；

（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且f（x1）+f（x2）＝0，求证x1+x2>2.

请考生在题26. 27. 28中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．

26.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:

如图，圆
与圆
相交于A、B两点，AB是圆
的直径，过A点作圆
的切线交圆
于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆
、圆
交于C，D两点。

求证：(Ⅰ)PA·PD=PE·PC； (Ⅱ)AD=AE.

27.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

已知圆锥曲线C：

为参数）和定点
,
是此圆锥曲线的左、右焦点。

(Ⅰ)以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线
的极坐标方程；

(Ⅱ)经过点
，且与直线
垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，

求
的值.

28．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数
。

(Ⅰ)解不等式
；

(Ⅱ)若
，且
，求证：
.

(理科3)答案

一.选择题 AABAB CBDBD AADCD

二．填空题

16．
17．
18．
19．
20 ① ② ③

20.【解析】设点
在曲线
上，则有
两边平方化简得：

。将x换为-x，表达式不变，故（1）正确；
故（2）正确；

当

当

故
，

故（3）正确.

三．21 .解⑴在△CDB中，∠CBD＝30?，BC＝3，
，由余弦定理，

得
，……………………2分

即
，解得，
.……………………4分

⑵设∠DCB＝，
，在△CDB中，由正弦定理，得
，

即
，同理
，……………………6分

所以，

…………………………10分

∵
，∴
.

∴当
时，
的最小值为
.…………12分

22 (Ⅰ) 设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得

CE＝
＝1， DE＝
＝3，

所以BE＝DE，从而得∠DBC＝∠BCA＝45°，

所以∠BOC＝90°，即AC⊥BD．

由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC． …………4 分

方法一：

(Ⅱ) 作OH⊥PC于点H，连接DH．由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．

所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．

故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以∠DHO＝60°……8分．

在Rt△DOH中，由DO＝
，得OH＝
．

在Rt△PAC中，
＝
．设PA＝x，可得
＝
．

解得x＝
，即AP＝
． ………… 12分

方法二：

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：

A(0，－
，1)， B(
，0， 0)，

C(0，
，0)， D(－
，0， 0)．

由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－
，t) (t＞0)．设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，

由
＝(－
，－
，0)，
＝(－
，
，－t) 知

取y＝1，得m＝(－2，1，
)．………….8分

又平面PAC的法向量为n＝(1，0，0)，

于是|cos< m，n>|＝
＝
＝
．解得t＝
，即

AP＝
． ………… 12分

23.（Ⅰ）

这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………4分

（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则

事件B “至少一个路段严重拥堵”，则

所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是
…………8分

（III）分布列如下表：

30

36

42

60





0.1

0.44

0.36

0.1





此人经过该路段所用时间的数学期望是
分钟． ……………12分

24. 解：（1）依题意，设椭圆
的方程为
．

构成等差数列，

，
．

又
，
．

椭圆
的方程为
． …………………………………………………4分

(2) 将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，得
． ……………………5分

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
．

设
，
， …………………………8分

（法一）当
时，设直线
的倾斜角为
，则
，

，

，……10分

，当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
．

所以四边形
面积
的最大值为
． …………………………12分

（法二）
，

．

．

四边形
的面积

， ………10分

． …………………………………………12分

当且仅当
时，
，故
．

所以四边形
的面积
的最大值为
．

25. (Ⅰ)f(x)的定义域为
，
， 令

，
，

①当
时，
在
恒成立， f(x)递增区间是
； …….2分

②当
时，
,

又x>0,
递增区间是
，递减区间是
. ………4分

（Ⅱ）（ⅰ）

设
,

化简得：
,
,…6分

，
在
上恒成立，
在
上单调递减，

所以
，
,即的取值范围是
.……………8分

（ⅱ）
，
在
上单调递增,

①若
，
则
与已知
矛盾,

②若
,
则
与已知
矛盾,

③若
，则
，又
，
得
与
矛盾,

④不妨设
，则由（Ⅱ）知当
时,
,

令
，则
,又
在
上单调递增，
即
. …………12分

证2：

,

设
，则t>0，
，
,

令
，得
，
在（0，1）单调递减，在
单调递增,

,又因为
时,
,
不成立.

，
. …………12分

26. （Ⅰ）
、
分别是⊙
的割线，

① …………2分

又
、
分别是⊙
的切线与割线，

② …………4分

由①，②得
…………5分

（Ⅱ）连接
，设
与
相交与点

是⊙
的直径，∠

是⊙
的切线. …………6分

由（Ⅰ）知，

…………8分

是⊙
的切线.

…………10分

27．（Ⅰ）C：
，轨迹为椭圆，其焦点

即

即
…………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）
，

,l的斜率为
，倾斜角为
，

所以l的参数方程为
（t为参数）

代入椭圆C的方程中，得：

因为M、N在
的异侧

…………10分

28. （Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；

当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；

当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．

所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}． …………5分

（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|．

因为|a|＜1，|b|＜1，

所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|．

故所证不等式成立． ……………10分