南昌一中、南昌十中

2014届高三两校上学期联考

数学（理）试题

一、选择题（5×10=50分）

1. 若数列｛an｝的前n项和为Sn＝kqn－k(k≠0)，则这个数列的特征是

(A)等比数列 (B)等差数列 (C)等比或等差数列 (D)非等差数列

2. 已知
，则
的值为

(A)

(B)
(C)
(D)
3. 已知向量 的形状为

(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形4. 设
是等差数列
的前
项和，若
，则
＝(A)1 (B)－1 (C)2 (D)
5. 设
是正实数，以下不等式恒成立的序号为

①
，②
，③
，④

(A)①③　 (B)①④　 (C) ②③　 (D)②④　6. 若曲线
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a为

(A)8 (B)16 (C)32 (D)64

7. 有下列命题：①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④ 用一个平面去截
棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。其中正确的命题的个数为

(A)
(B)
(C)
(D)3

8. 若数列
的通项公式
，记
，

试通过计算
的值，推出的f(n)为

(A)
(B)
(C)
(D)

9. 已知数列满足：
,
,（
）,若
,
,且数列
是单调递增数列,则实数
的取值范围为

(A)
(B)
(C)
(D)

10. 函数
的定义域是[a , b] (a< b),值域是
则符合条件的数组（a，b）的组数为

(A) 0 (B)2 (C)1 (D)3

二、填空题（5×5=25分）

11. 一个梯形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，且梯形的面积为
，则原梯形的面积为___
______________.

12. 设G是△ABC的重心
，若∠A=120°，
,则
的最小值=_______.

13. 对于函数f(x)＝2Cos
x＋2sinxCosx－1(x∈R)给出下列命题：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)
在区间
上是减函数；③直线x＝是f(x)的图像的一条对称轴；④f(x)的图像可以由函数y＝sin2x的图像向左平移而得到．其中正确命题的序号是_____(把你认为正确的都填上)14.
，若任取
，都存在
，

使得
，则
的取值范围为_____________________.

15. 已知f(x)=m(x－2m)(x﹢m﹢3)，g(x)=
2
- 2，若同时满足①

f(x)<0或g(x)<0，②
f(x) g(x)<0，则m的取值范围是_______.

三、解答题（4×12+13+14=75分）

16. （12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，

DE⊥平面ACD，且AC = AD = CD = DE =2，AB =1．

（1）请在线段
CE上找到点F的位置，使得恰有

直线BF∥平面ACD，并证明你的结论；

（2）求多面体ABCDE的体积．

17. （12分）在
中，已知
．

（1）求证：tanB=3
tanA

（2）若
求A的值．

18．（12分）已知
设函数f(x)=
的图像关于 对称,其中
，
为常数,且
∈

（1）求函数f(x)的最小正周期T；
（2）函数过
求函数在
上取值范围。

19. （12分）已知函数
（其中e是自然对数的底数，k为正数）

（1）若
在
处取得极值，且
是
的一个零点，求k的值；

（2）若
，求
在区间
上的最大值；

（3）设函数g(x)=f(x)-kx在 区间上是减函数，求k的取值范围. 20. （13分）数列{ a n}满足a 1＋2 a 2＋22 a 3＋…＋2n－1 a n＝
，(n∈N*)前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，且
b1=2，其前n项和Tn满足Tn=n
·bn+1(
为常数，且
<1)．（1）求数列{ a n}的通项公式及
的值；

（2）设
，求数列
的前n项的和
；

（3）证明
+
+
+ +
>
Sn．

21. （14分）已知函数
，
，和直线m:y=kx+9，又
．

（1）求
的值；

（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线
的切线，又是
的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由．

（3）如果对于所有
的
,都有
成立，求k的取值范围．

[来源:Z*xx*k.Com]

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学科网ZXXK]

参考答案

一、CBDAD，BBCAC

二、4；
；②③；
；（-4，-2）；

三、16. （1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB∥
ED,

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则FH∥=
ED
FH∥=AB
四边形ABFH是平行四边形，

∴ BF∥AH由BF不在平面ACD内，AH在平面ACD内，

∴ BF∥平面ACD

(2)取AD中点G,连接CG, AB⊥平面AC D,
CG⊥AB

又△ACD中，CG⊥AD, CG⊥平面ABED,即CG为四棱锥C-ABED的高，CG
=

∴

17. （1）∵
，∴
，即

由正弦定理，得
，∴
。

又∵
，∴
。∴
即
。

（2）∵
，∴
。∴
。

∴
，即
。∴
。

由 （1） 得
，解得
。

∵
，∴
。∴

18. (1)因为f(x)＝sin2ωx－Cos2ωx＋2sin ωx·Cosωx＋λ＝－Cos 2ωx

由于点 是y＝f(x)图象的对中心，可得s
in
＝0，

所以
(k∈Z)，即

又ω∈，k∈Z， 取k=1,得ω＝.所以f(x)的最小正周期是.

(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，

即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，即λ＝－.

故f(x)＝2sin －，

由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin ≤1，

得－1－≤2sin －≤2－，

故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．

19.⑴ 由已知f'（x0）=0，即
∴x0＝
，又f（x0）=0，即eln+e=0 ∴k=1． ⑵

∵1

x∈(
)时，f（x）单调递增,故fmax(x)∈{f(
)，f(1)}

又f(
)＝ek?e，f(1)＝k,

当ek-e＞k，即
＜k

当ek-e≤k，即1

∵ g（x）在(
，e)是减函数，∴g'（x）≤0在x∈(
，e)上恒成立即
≤0在x∈(
，e)上恒成立，∴k≥
在x∈(
，e)上恒成立，

又
≥2，当且仅当x=1时取等号 ∴
≤
即x∈[
，+∞)

20. (1)∵ a 1＋2 a 2＋22 a 3＋…＋2n－1 a n＝
， ①

∴ a 1＋2 a 2＋22 a 3＋…＋2n－2 a n－1＝
(n≥2)， ②

①－②得2n－1 a n＝
－
＝
(n≥2)， 化简得a n＝
(n≥2)．

显然n＝1时也满足上式，故a n＝
(n∈N*)．
由于
成等差，且b1
,

设公差为d，则
解得
或

又
<1，∴
,
bn＝2n ∴
，a n＝
(n∈N*)

(2) ∵Cn＝n·2n 于是pn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ③

2pn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， ④

③－④得－pn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， ∴ pn＝(1-n)2n＋1－2（3）由(1) Tn＝n(n+1) ，Sn＝1-

由Sn＝1-
< 1
Sn<
∴

Sn

21. （1）因为
,所以
即
,所以a=－2.

(2)因为直线
恒过点（0，9）.

设切点为
,因为
.

所以切线方程为
,将点（0，9）代入得
.

当
时，切线方程为y=9, 当
时，切线方程为y=12
x+9.

由
得
，即有

经检验，当
时，
的切线方程为


是公切线，

又由
得


或
，

经检验，
或
不是公切线

∴
时
是两曲线的公切线

(3)①
得
，当
，不等式恒成立，
.

当
时，不等式为
，

而

当
时，不等式为
，

当
时,
恒成立，则
[来源:学科网]

②由
得

当
时，
恒成立，
，当
时有

设
=
，

当
时
为增函数，
也为增函数

要使
在
上恒成立，则

由上述过程只要考虑
，

则当
时
=

在