景德镇市2014届高三第二次质检试题

数 学(理)

命题 市一中 江　宁 市二中 张勋达 审核 刘倩

昌江一中 叶柔涌 乐一中 许 敏

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

1.设集合
，若
， 则实数
的取值范围一定是

A．
　　　B．　
　　　　 C．
　　　D．

2．若
为纯虚数，则实数
的值为　　

A．0　　　　　　　B．
　　　　　　　 C．1　　　　　D．

3. 若命题
对于任意
，有
，则对命题
的否定是

A．对于任意
　有
　　B．对于任意
有
　　　　　　　

C．存在
使
　　　　　D．存在
使

4．在一组样本数据的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的
，且样本容量为280，则中间一组的频数为( )

A.56 　 　 B.80　 　 C.112　 　 D.120

5.已知
，
，则

A．
B．
C．
或
D．

6. 函数
的图像可能是

7.等差数列
中的
、
是函数
的极值点，则

A．
B．
C．
D．

8. 如图，在直三棱柱
中，E是
的

中点，D是
的中点，则三棱锥
的体积

与三棱柱
的体积之比是

A．
B．

C．
D．

9．设F
、F
分别是双曲线C：
的左,右焦点，过F
的直线
与双曲线的左支相交于A、B两点，且三角形
是以
为直角的等腰直角三角形，记双曲线C的离心率为
，则
为（　　）

A．
B．
C．
D．

10．菱形
的边长为
，
，沿对角线
折成如图所示的四面体，二面角
为
，
为
的中点，
在线段
上，记
，
，则函数
的图像大致为

[来源:Z|xx|k.Com]

二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分．

11．已知程序框图如图，则输出的i=　　．

12．在
中，
，
，
，
在边
上，
,则
　　　　．

13．已知抛物线
的焦点为
，过
点，且斜率为
的直线交抛物线于A, B两点，其中第一象限内的交点为A，则
．

14．设集合
，集合
，
，
满足
且
，那么满足条件的集合A的个数为 　．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．

15．（1）如图，在极坐标下，写出点
的极坐
标　　　．

（2）方程
有四个解，则
的取值范围为　　　　．

四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在△
中,角
所对
的边分别为
,满足
,

.

(I)求边
的大小; (II)求△ABC面积的最大值.

17．（本小题满分12分）

设

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）若
在
上单调递增，求
的取值范围．

18．（本小题满分12分）

为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生的试卷成绩作为样本，他们数学成绩的茎叶图如图所示，其中茎为百位数和十位数，叶为个位数．

（Ⅰ）若该样本男女生平均分数相等，求
的值；

（Ⅱ）若规定120分以上为优秀，在该5名女生试卷中

每次都抽取1份，且不重复抽取，直到确定出所

有非优秀的女生为止，记所要抽取的次数为
，

求
的分布列和数学期望
．

19．（本小题满分12分）

如图，在等腰梯形ABCD中，

，O为AD上一点，且
，平面外两点P、E满足，
，
，
，
．

求证：
平面
;

求平面
与平面
夹角的余弦值;

若
平面PCD，求PO的长.

20. （本小题满分13分）

单调递增数列
满足
．

(1)求
，并求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
．

21. （本小题满分14分）

已知双曲线C：
，A.B两点分别在双曲线
的两条渐近线上，且
，又点P为AB的中点．

（1）求点P的轨迹方程并判断其形状；

（2）
若不同三点D（-2,0）、S、T 均在点P的轨迹上，且
；

求T点横坐标
的取值范围。数学试题（理）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

DACBA BAA A D　

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．9　　12．　
　　13．3　　14．55

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．

15．（1）
（2）

四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16． （1）∵
∴

∴

∴
∵

∴
∴
∴
…… (6分）

（2）∵
∴

∴
∴
…………　（12分）

17．解：
　　

令

令

所以
在
单调递减，在
上单调递增………………………6分

（2）

由
，又
，

所以

由

所以

即

得
………12分

18．（1）解：依题意得[来源:学科网ZXXK]

得
……………………6分

（2）由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人

2

3

4















……………………12分

19．（1）在等腰梯形ABCD中
，又 ∵
，∴
平面

∴
又 ∵
∴
平面

…（4分）

（2）如图建立直角坐标系

，
，
，

求得平面
法向量为

平面
法向量为

∴平面
与平面

所成的角的余弦值为

…（8分）

(3) 设
，

可求得平面
法向量为

∴
∴
………… （12分）

（其他方法相应给分）

20．（1）
时，
　得

当
时，

得

化为

或
　（
）

又因为
单调递增数列，故

所以
是首项是1，公差为1的等差数列，
………………6分

＝

记
①

②

由①－②得

……………13分

21. 双曲线渐近线为
与
[来源:学科网]

所以设
，
，

，

又
，点P的轨迹方程为

所以
时P的轨迹为圆

时P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆

时P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆 （6分）

把D（-2,0）代入
，得P的轨迹的
　　


①

（2）设直线DS为
②

联立（1）（2）得

设点S
，有
，

，

则直线ST为

化简为：
③

联立①，③得

（ 因为三点不同，易知
）

所以
的取值范围为
…… （14分）