一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.）

1．设复数

且
，则复数z的虚部为

A.
B.
C.
D.

2．集合
，则下列关系正确的是

A.
B.
C.
D.
=R [来源:学+科+网]

3．已知函数
的定义域为
，值域为
，则
的值不可能是

A.
B.
C.
D.

4．已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则

A．
B．
C．
D．

5．根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为

A．61 B．31 C．30 D．25

6．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程
，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为

A．75 B．62

C．68 D．81

7．能够把圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆
的“和

谐函数”,下列函数不是圆
的“和谐函数”的是

A．
B．
C．
D．

8．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体

的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A
．8 B．
C．
D．

9．设
，则二项式
展开式

中的
项的系数为

A. 20 B.
C. 160 D.

10．如图，点
从点
出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动
一周，
两点连线的距离
与点P走过的路程
的函数关系分别记为
，定义函数
对于函数
，下列结论正确的个数是

①
.

②函数
的图象关于直线
对称.

③函数
值域为
. ④函数
增区间为
.

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．已知向量
，若
.则锐角
= ▲▲▲ .

12．已知实数x, y满足
， 则
的最大值为▲▲▲.

13．已知P为椭圆
上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，B为

椭圆右顶点，若
平分线与
的平分线交于点
，

则
▲▲▲.

三、选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分.本题共5分）

15．（1）（极坐标与参数方程选做题）已知曲线
的极坐标方程为：

，曲线C上的任意一个点P的直角坐标为
，

则
的取值范围为▲▲▲.

（2）（不等式选做题）若存在实数
使得
成立，则实数
的取值范围

为▲▲▲.[来源:学+科+网Z+X+X+K]

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．(本小题满分12分)

已知各项都不相等的等差数列
的前6项和为6
0，且
为
和
的等比中项.

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 若数列
满足
，且
，求数列
的前
项和
.

17. （本小题满分12分）

已知角A、B、C是
的三个内角，若向量

，
，且
.

（1）求
的值； （2）求
的最大值.

18. （本小题满分12分）

某市
四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

中学











人数













为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四

所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.

（1）问
四所中学各抽取多少名学生？

（2）从参加问卷调查的
名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学

的概
率；

（3）在参加问卷调查的
名学生中，从来自
两所中学的学生当中随机抽取两名学

生，用
表示抽得
中学的学生人数，求
的分布列和期望.来源:Zxxk.Com]

20．（本小题满分13分）

已知中心在原点
的椭圆C：
的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x
＞0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段

AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）若
，求证：当
时，
；

（2）若
在区间
上单调递增，试求
的取值范围；

（3）求证：
.

新余市2013-2014学年度上学期期末质量检测

高三数学 参考答案 (理科)

一、选择题(每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求。)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10[来源:Zxxk.Com]



答案

B

A

D

C

B

C

A

B

D

C



二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11.
12.
13.
14.②③

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分。

本题共5分。

15．（1）
（2）

四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分)

解：（1）设等差数列
的公差为
(
)，

则
………………2分

解得
…………………4分

∴
．
………………5分[来源:学科网]

（2）由
，

∴

， ………………6分

．

∴

． …………………8分

∴
………………10分

．………………12分

17. （本小题满分12分）

. 解：（1）
……3分

………………6分

（2）
………………9分

（
A,B均是锐角，即其正切均为正）

所求最大值为
。………………12分

18. （本小题满分12分）

解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，

抽取的样本容量与总体个数的比值为
.

∴应从
四所中学抽取的学生人数分别为

. …………… 4分

(3)由（1）知，在参加问卷调查的
名学生中，来自
两所中学的学生人数分别

为
.

依题意得，
的可能取值为
， …………… 8分

，


，


.

…………… 11分

∴
的分布列为：



1

















…………… 12分

19．（本小题满分12分）

解:以
为坐标原点
长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

.

（Ⅰ）证明：因

由题设知
，且
与
是平面
内的两条相交直线，由此得
面
.

又
在面
上，故面
⊥面
.…………… 5分

（Ⅱ）解：在
上取一点
，则存在
使

要使

为所求二面角的平面角.

面
与面

夹角的余弦值
.…………… 12分

20．（本小题满分13分）

解：(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，

所以b2＝a2＋9.

则椭圆C的方程为＋＝1.

因为x＞0，所以
＝×3×x＝，解得x＝1.

故点M的坐标为(1,4)．

因为M(1,4)在椭圆上
，

所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，

则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为＋＝1. ………………6分

(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)．

由消去y化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0.

进而得到x1＋x2＝－，x1x2＝.

因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，

所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)＞0，

化简得m2＜162，解得－9＜m＜9.

因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以
＝0，

所以x1x2＋y1y2＝0.

又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，

x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝0.

解得m＝±.

由于±∈(－9，9)，

所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y＝4x＋或y＝4x－.………
…13分

21．（本小题满分14分）

解：(1)f(x)＝ex－x2，则h(x)＝f′(x)＝ex－x，∴h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，

∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上递增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0，

∴f(x)＝ex－x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＞f(0)＝1.( …………4分)

(2)f′(x)＝ex－2kx，下面求使
(x＞0)恒成立的k的取值范围．

若k≤0，显然f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；

记φ(x)＝ex－2kx，则φ′(x)＝ex－2k，

当0＜k＜时，∵ex＞e0＝1，
2k＜1，∴φ′
(x)＞0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当k≥时，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，＋∞)上单调递增，

于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k，

由eln 2k－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，则≤k≤，

综上，k的取值范围为(－∞，]． …………9分

另解：(2)
，下面求使
(x＞0)恒成立的k的取值范围．

)恒成立。记

在