2013-2014学年度第一学期期末联考

高三数学试题（文科）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知复数满足
，则Z等于(
)

A．
B．
C．
D．

2、定义集合A、B的一种运算：
，若
，
，则
中的所有元素数字之和为

A．7 B．9 C．5 D． 6

3、甲、乙两名同学在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，
，
分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的平均数，
分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的标准差，则有( )

A．
B．

C．

D．

4、已知函数
，其中
，
，记函数
满足条件：
为事件
，则事件
发生的概率为（ ）

A.
B.
C.

D.

5、在
中，D是BC的中点，AD=3，点P在AD上且满足
则
（ ）

A．6 B．
C．-12 D．

6、某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积是（ ）

A.
B.

C.
D.

7、已知
，且
则
的是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、阅读右侧程序框图，输出的结果
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9、已知双曲线
的方程为
，它的左、
右焦点分别
，左右顶点为
，过焦点
先作其渐近线的垂线，垂足为
，再作与
轴垂直的直线与曲线
交于点
，若
依次成等差数列
，则离心率e=（　　　）

A、
　　　 B、
　　　 C、
或
　 D、

10、如图放置的边长为1的正方形
沿
轴正方向滚动.设顶点
的轨迹方程是
，设
在其两个相邻零点间的图象与
轴所围区域为S,则直线
从
所匀速移动扫过区域S的面积D与
的函数图象大致为（ ）．

A B C D[来源:Z+xx+k.Com]

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、已知过原点的直线与圆
相切，若切点在第二象限，则该直线的方程为 ．

12、若命题“
”为假命题，则实数a的取
值范围是

13、设
满足约束条件
若目标函数
的最大值为
则
的最小值为______________ .

14、已知定义在
上的函数
满足
，且
，
，若
是正项等比数列，且
，则
等于

.

15、函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函数
满足以下两个条件：(1)
在[m，n]上是单调函数；(2)
在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为
的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有　 　（填上所有正确的序号）

①
=x2（x≥0）； ②
=ex（x∈R
）；

③
=
；④
=
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应
写出文字说明、证明过程及演算步骤。（注意：在试题卷上作答无效）

16.（本题满分为12分）在
中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且向量
,
，满足

（1）求角C的大小；

（2）若
成等差数列，且
，求边
c的长

17.（本题满分为12分）数列
的前n项和记为
,
,点
在直线
上,n∈N*．

（1）求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式

（2）设
,
是数列
的前n项和,求
的值．

18.（本题满分为12分）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定
个药品样本分成三组，测试结果如下表：

分组


组


组


组



药品有效









药品无效









已知在全体样本中随机抽取
个，抽到
组药品有效的概率是
．

（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取
个测试结果，问应在
组抽取样本多少个？ [来源:学.科.网]

（2）已知
，
，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于
%，则认为测试通过）．

19.（本题满分为12分）在
中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如下左图）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如下右图），已知D是AB的中点．

（1）求证：CD∥平面AEF;

（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；

（3）求三棱锥C-AEF的体积，

[来源:学科网]

20.（本题满分为13分）已知动圆
与直线
相切且与圆
：
外切。

（1）求圆心
的轨迹
方程；

（2）过定点
作直线
交轨迹
于
两点，
是
点关于坐标原点
的对称点，求证：
；

21、（本题满分为14分）已知函数

的图像过坐标原点
，且在点
处的切线的斜率是
．

（1）求实数
的值； （2）求
在区间
上的最大值；

（3）对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点
，使得
是以
为

直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在
轴上？请说明理由．

六校2013-2014学年度第一学期期末联考

高三文科数学参考答案

一、选择题：1～5.B A B D C 6～10. C C B A D

二、填空题：11.
12.
13.
14.

15.①③④

三、解答题：

16.(1)由
可得
…………2分

即
，又

得
而
………4分
即C=
…………..6分

(2)

成等差数列
由正弦定理可得2c=a+b………….
①

可得
而C=
，
…… ②

由余弦定理可得
…………③

由①②③式可得c=6………12分

（1）由题意得
，

,（1分）两式相减,得
，（3分）
，则
,当
时
是首项为1，公比为3的等比数列．（5分）

（6分）

（2）由（1）得知
，
，（8分）
,（10分）

．（12分）

解：（1）

应在C组抽取样本个数是

（2）
的可能性是

若测试通过，则

的可能有

通过测试的概率为
………………12分

（1）取
中点
，连结
，[来源:学_科_网Z_X_X_K]

因为
分别是
的中点

所以
是
的中位线，
，四边形
是平行四边形，所以

由左图知
，
，又

所以四边形
为矩形，则
，
中
，
为
的中点，

所以
，所以
，

，由左图知
，又面AEC⊥平面BCEF，且AEC
平面BCEF=CE，

，即AC为三棱锥
的高，

解析：（1）法1：根据题意动圆圆心
到定点
和到定直线
的距离相等,根据抛物线的定义可知，动圆圆心
的轨迹C的方程为
.??………………………5分

法2：设
，则
，即
得