考试时间：120分钟 分值：150分

命题人：高安中学 黄军 审题人：抚州一中

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
(
是虚数单位)的值是（ ）

A．－
B．
C．
D．

2．若集合
，集合
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知数列
满足
，若
，
，则
（ ）

A．1 B．2 C．3 D．

4．函数
的单调减区间为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．某程
序框图如图所示，该程
序运行后输出的S的值是（ ）

[来源:学科网]

A．
B．
C．3 D．

6．若
，则
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设随机变量
服从正态分布
，若
，则函数
没有极值点的概率是（
　　）

A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8

8．已知函数
（
,
）在
处取得最大值，则函数
是（ ）

A．偶函数且它的图象关于点
对称
B．偶函数且它的图象关于点
对称

C．奇函数且它的图象关于点
对称　 D．奇函数且它的图象关于点
对称

9．若
,则
的值为（ ）

A．
B．0 C． 2 D．

10．给定圆
:
及抛物线
：
过圆心
作直线
,此直线与
上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为
如果线段
的长按此顺序构成一个等差数列,则直线
的斜率为（ ）

A．

B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．其中第15题是选做题，请把答案填在答题卡的相应横线上.

11．计算：
= ．

12．过双曲线
的一个焦点
作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线
段
为坐标原点）的垂直平分线上
，则双曲线的离心率为 .

13．如图,正四棱锥
中，
，
是边
的中点，动点
在四棱锥的表面上运动，且总保持
，点
的轨迹所围成的图形的面积为
,若以
的方向为主视方向，则
四棱锥
的主视图的面积是 .

14．已知
是
上一动点, 线段
是
的一条动直径(
是直径的两端点),则
的取值范围是__________________．

15．选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．

15（1）．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
的参数方程为
（t为参数），曲线
的极坐标方程为
，设曲线
，
相交于A、B两点，则
的值为__________________．

15（2）．（不等式选做题）在实数范围内，不等式
的解集为 ．

三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数

．

（1）求函数
的值域；

（2）已知锐角⊿ABC的两边长分别为函数
的最大值与最小值，且⊿ABC的外接圆半径为
，求⊿ABC的面积．

17．
（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为
，

．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
n项和为
．

18．（本小题满分12分）

一个口袋中装有大小形状完全相同的
个乒乓球，其中1个乒乓球上标有数字1，

2个乒乓球上标有数字2，其余
个乒乓球上均标有数字3（
）， 若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是
.

（1）求
的值；

（2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设
表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之积，求
的分布列和数学期望
．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，侧面
是边长为2的正三角形，底面
是菱形，
,点P在底面
上的射影为ΔACD的重心，点M为线段
上的点．

（1）当点M为PB的中点时，求证：PD//平面ACM；

（2）当平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为
时，试确定点M的位置．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
,椭圆C
过点
．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点
作圆
的切线
交椭圆
于A，B两点,记
为坐标原点)的面积为
,将
表示为m的函数，并求
的最大值.

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）当
时，证明对任意的

；

（2）求证：

．

（3）若函数
有且只有一个零点，求实数
的取值范围．

江西省重点中学协作体2014届高三第一次联考数学（理）

参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

D

A

A

C

B

A

C



















































二、填空题：

三、解答题：

…………………………10分

∴
． ………………………………12分

1
7．解： (1)
……………①

时,
……………②

①
②得:

即

……………………………………3分

在①中令
,有
,即
，……………………………………5分

故对

18．解(1)由题设
，即
，解得
………………………4分

(2)
取值为2，3,4,6,9.

的分布列为：

2

3

4

6

9


















=
………………………12分

19．解：（1）设AC、
BD的交点为I，连结MI， 因为I、M分别为BD、BP的中点，所以PD//MI，

又MI在平面ACM内，所以PD//平面ACM； …………4分

（2）设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，

过O点垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则
,
，
，
，
， ………………6分

设
，

则
,

，

设平面CBM的法向量为
，则
且
，

令

则
………………………10分[来源:学科网]

所以

∵椭圆C过点
，∴
，∴
，

∴椭圆C的标准方程为
………………………4分[来源:学|科|网Z|X|X|K]

（2）由题意知，
.

易知切线
的斜率存在,设切线
的方程为

由
得

设A、B两点的坐标分别为
，则

………………………6分

,

(当且仅当
时取等号)

所以当
时，
的最大值为1. ………………………13分

（2）根据（1）的结论，当
时，
，即
．

令
，则有
， ………………………7分

．即

．…8分

(本问也可用数学归纳法证明.)

③当
时，
，设
的两根分别为
与
，

则
，
，不妨设

当
及
时，
，当
时，
，

所以函数
在
上递增，在
上递减，

而

所以
时，
，且

因此函数
在
有一个零点，而在
上无零点；

此时函数
只有一个零点；

综上，函数
只有一个零点时，实数a的取值范围为R．………………………14分