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南昌一中、南昌十中 2014届高三两校上学期联考 数学（文）试题 一、选择题（5×10=50分） 1. 若数列｛an｝的前n项和为Sn＝kqn－k(k≠0)，则这个数列的特征是( ) (A)等比数列 (B)等差数列 (C)等比或等差数列 (D)非等差数列 2. 已知，则的值为 (A) (B) (C) (D) 3. 数在点处的切线方程为（ ） (A) (B) (C) (D) 4. 设是等差数列的前项和，若，则＝( ) (A)1 (B)－1 (C)2 D. 5.若变量满足约束条件，则的最大值为 (A) (B) (C) (D) 6. 在ABC中，a，B，c分别是角A，B，C的对边，若，B= A． 45°或135° (B)45° (C)135° (D) 以上答案都不对 7. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（ ） (A) (B) (C) (D) 8. 设是正实数，以下不等式恒成立的序号为 （ ） ① ，② ，③ ，④ (A) ②③ (B) ①④ (C) ②④ (D) ①③ 9. 若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a= (A)16 (B)8 (C)32 (D)64 10. 已知向量的形状为[来源:学§科§网] (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 二、填空题（5×5=25分） 11. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为 . 12. 若数列满足，，则它的通项 ． 13. 已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为 ． 14.对于函数f(x)＝2cosx＋2sinxcosx－1(x∈R)给出下列命题：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在区间上是减函数；③直线x＝是f(x)的图像的一条对称轴；④f(x)的图像可以由函数y＝sin2x的图像向左平移而得到．其中正确命题的序号是_______(把你认为正确的都填上) 15. 设G是△ABC的重心，若∠A=120°，,则的最小值= ． 三、解答题（4×12+13+14=75分） 16. 中，分别为内角的对边且， （1）求的大小； （2）若，试判断的形状． 17. （12分）在中，已知． （1）求证：tanB=3tanA （2）若求A的值． 18．（12分）已知设函数f(x)=的图像关于 对称,其中，为常数,且∈ （1）求函数f(x)的最小正周期T； （2）函数过求函数在上取值范围。 19. （12分）已知函数（其中e是自然对数的底数，k为正数） （1）若在处取得极值，且是的一个零点，求k的值； （2）若，求在区间上的最大值； （3）设函数g(x)=f(x)-kx在 区间上是减函数，求k的取值范围. 20. （13分）数列{ a n}满足a 1＋2 a 2＋22 a 3＋…＋2n－1 a n＝，(n∈N*)前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，且b1=2，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且<1)． （1）求数列{ a n}的通项公式及的值； （2）设，求数列的前n项的和； （3）证明+++ +>Sn． 21. （14分）已知函数，，和直线m:y=kx+9，又． （1）求的值； （2）是否存在k的值，使直线m既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由． （3）如果对于所有的,都有成立，求k的取值范围． [来源:学。科。网] [来源:学科网ZXXK] 参考答案 一、选择题（5×10=50分）CBDAD BBCAC 二、填空题（5×5=25分）3， ，，②③， 16. 解 （1）由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc． 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 故cos A＝，∵A∈(0°，180°) ∴ A＝120°． （2）由（1）得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C．[来源:学_科_网Z_X_X_K] 又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝． 因为0° 所以△ABC是等腰的钝角三角形． 17. （1）∵，∴，即 由正弦定理，得，∴。 又∵，∴。∴即。 （2）∵ ，∴。∴。 ∴，即。∴。 由 （1） 得，解得。 ∵，∴。∴ 18. (1)因为f(x)＝sin2ωx－Cos2ωx＋2sin ωx·Cosωx＋λ＝－Cos 2ωx 由于点 是y＝f(x)图象的对中心，可得sin＝0， 所以(k∈Z)，即 又ω∈，k∈Z， 取k=1,得ω＝.所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0， 即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，即λ＝－. 故f(x)＝2sin －， 由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin ≤1， 得－1－≤2sin －≤2－， 故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]． 19.⑴ 由已知f'（x0）=0，即 ∴x0＝，又f（x0）=0，即eln+e=0 ∴k=1． ⑵ ∵1 x∈()时，f（x）单调递增,故fmax(x)∈{f()，f(1)} 又f()＝ek?e，f(1)＝k, 当ek-e＞k，即＜k 当ek-e≤k，即1 ∵ g（x）在(，e)是减函数，∴g'（x）≤0在x∈(，e)上恒成立 即≤0在x∈(，e)上恒成立， ∴k≥在x∈(，e)上恒成立， 又≥2，当且仅当x=1时取等号 ∴≤ 即x∈[，+∞) 20. (1)∵ a 1＋2 a 2＋22 a 3＋…＋2n－1 a n＝， ① ∴ a 1＋2 a 2＋22 a 3＋…＋2n－2 a n－1＝ (n≥2)， ② ①－②得2n－1 a n＝－＝ (n≥2)， 化简得a n＝ (n≥2)． 显然n＝1时也满足上式，故a n＝ (n∈N*)． 由于成等差，且b1, 设公差为d，则解得或 又<1，∴, bn＝2n ∴ ，a n＝ (n∈N*) (2) ∵Cn＝n·2n 于是pn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ③ 2pn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， ④ ③－④得－pn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， ∴ pn＝(1-n)2n＋1－2 （3）由(1) Tn＝n(n+1) ，Sn＝1- 由Sn＝1-< 1 Sn< ∴ Sn[来源:Zxxk.Com] 21. （1）因为,所以即,所以a=－2. (2)因为直线恒过点（0，9）. 设切点为,因为. 所以切线方程为,将点（0，9）代入得. 当时，切线方程为y=9, 当时，切线方程为y=12x+9. 由得，即有 经检验，当时， 的切线方程为是公切线， 又由得或， 经检验，或不是公切线 ∴ 时是两曲线的公切线 (3)①得，当，不等式恒成立，. 当时，不等式为， 而 当时，不等式为， 当时,恒成立，则 ②由得 当时，恒成立，，当时有 设=， 当时为增函数，也为增函数 要使在上恒成立，则 由上述过程只要考虑， 则当时= 在时，在时 在时有极大值即在上的最大值，又， 即而当,时，一定成立 综上所述:. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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