一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置）

1．已知集合
，则
▲ ．

2．为了调查各地域的城市
值的情况，把36个城市按地域分成甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的城市数分别为
．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ ．

3．复数
（为虚数单位）的实部为 ▲ ．

4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ▲ ．

5．根据如图所示的流程图，若输入的值为
，则输出的值为 ▲ ．

6．已知函数
（
）的部分图象如图所示，则的值为 ▲ ．

7．设等差数列
的前项和为
，若
，则
▲ ．

8．若单位向量
满足
，向量
满足
，则
的取值范围为 ▲ ．

9．已知
为平面，
为直线，下列命题：

① 若
，则
； ② 若
，则
；

③ 若
，则
； ④ 若
，则
．

其中是真命题的有 ▲ ．（填写所有正确命题的序号）

10．设
，在约束条件
下，目标函数
的最大值小于，则实数的取值范围为 ▲ ．

11．水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的表面积：用锐角
的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，为切点，一条直角边
紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得
，则球的表面积等于 ▲

12．在平面直角坐标系
中，是曲线
与曲线
的一个公共点，若曲线
在处的切线与曲线
在处的切线互相垂直，则实数的值是 ▲ ．

13．如图，
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线
与双曲线
的两支分别交于点，，若
为等边三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．

14．已知函数
，若对任意的实数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分，请将正确解答书写在答题卡的相应位置，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

如图，已知斜三棱柱
中，
，为
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）若平面
平面
，求证：
．

16．（本小题满分14分）

中，角
所对的边分别为
，

（1）证明：
；

（2）若
，求角的大小．

17．（本小题满分14分）

如图，在海岸线
一侧
处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在
上设立了
两个报名点，满足
中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将
两处游客分别乘车集中到
之间的中转点处（点异于
两点），然后乘同一艘游轮前往
岛．

据统计，每批游客处需发车2辆，处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设
，每批游客从各自报名点到
岛所需运输成本
元．

（1）写出
关于的函数表达式，并指出的取值范围；

（2）问中转点距离处多远时，
最小？

18．（本小题满分16分）

如图，已知椭圆
的上顶点为，离心率为
，若不过点的动直线
与椭圆
相交于
两点，且
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若直线
的斜率为，求直线
的方程；

（3）求证：直线
过定点，并求出该定点
的坐标．

19．（本小题满分16分）

设
，其中
为非零常数；又数列
的首项
，前项和为
，对于
，
．

（1）若
，求证：数列
是等比数列；

（2）试确定所有的自然数
，使得数列
能成等差数列．

20．（本小题满分16分）

设函数

（1）若
，求
的单调区间；

（2）若
，是否存在实常数
和，使得
和
恒成立？若存在，求出
和的值；若不存在，请说明理由；

（3）若已知
，设
有两个零点
且
成等差数列，试探究
的符号．

高三数学期初调研（附加题部分）2013．9

21．【选做题】每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵
，

（1）求的逆矩阵
； （2）求的特征值和特征向量．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆
被直线
截得的弦长为
，求实数的值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．在正方体
中，
是
的中点，是线段
上一点，且

（1）若
，求异面直线
与
所成角的余弦值；

（2）若平面
平面
，求
的值．

23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字
．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．

（1）求概率
；

（2）求
的概率分布列，并求其数学期望
．

参考答案

【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．

(ii) 若k=1，设
（b，c为常数），

当
时，
， ③

， ④

③－④得
．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有
（常数），

而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1
，

故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1
，此时
．

(iii) 若k=2，设
（
，a，b，c是常数），

当
时，
， ⑤

， ⑥

⑤－⑥得
，

要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有

，且d=2a，

考虑到a1=1，所以

．

故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为

，

此时
（a为非零常数）． (iv) 当
时，若数列{an}能成等差数列，则
的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．

综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．

⑶
的符号为正，理由如下：因为
有两个零点
，则有
两式相减得

，即
，

于是

①当
时，令
，则
，且
，

设
，则

，

故
在
上为增函数，又
，所以
，

即
，又因为
，
，所以
．

②当
时，同理可得
．综上所述，
的符号为正．

22．【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
．

则A (1，0，0)，
，
，D1(0，0，1)，E
，

于是
，
.

由cos
＝
＝
.

所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为
.

（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·
＝0，m·
＝0

得
取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) .

由D1E＝λEO，则E
，
=
.

又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·
＝0，n·
＝0.

得
取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .

因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．