江苏省2014年高三百校大联考数学试卷

参考答案与评分标准

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据
的方差
，其中
．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．

1．已知集合
，则满足
的集合
的个数是 ▲ ．

【答案】4

【解析】本题考查集合的概念与运算．由题意，
，集合
的个数即
的子集个数，共
个．

2. 已知
，其中i为虚数单位，则
▲ ．

【答案】3

【解析】本题考查复数的四则运算．因为
，所以，a＝1，b＝2，所以
＝3．

3． 从
中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ．

【答案】

【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为
．

4．已知单位向量
满足
，则
的夹角为 ▲ ．

4．【答案】

【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为
，所以
，即
＝0，所以，
，即
，则
的夹角为
．

5. 设五个数值31，37，33，
，35的平均数是34，则这组数据的方差是 ▲ ．

【答案】4

【解析】由
，可得
，所以方差

6．已知实数
，
满足
，则
的最大值是 ▲ ．

【答案】

【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为
．

7．执行如图所示的流程图，则输出S的值为 ▲ ．



【答案】420

【解析】本题考查流程图和循环结构．
．

8．已知直线
、
与平面
、
，
，则下列命题中正确的是 ▲ （填写正确命题对应的序号）．

①若
，则
②若
，则

③若
，则
④若
，则

【答案】③

【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断．由面面垂直的判定定理可得答案为③．

9．已知
，
，则
▲ ．

【答案】

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，
，所以
，故
，
，因此
．

10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为 ▲ ．

解析：可设圆心为(2，b)，半径r＝，则＝，解得b＝1．故r＝．

答案：

11．已知椭圆方程为
，
、
分别是椭圆长轴的两个端点，
、
是椭圆上关于x轴对称的两点，直线
的斜率分别为
，若
，则椭圆的离心率为 ▲ ．

11．【答案】

【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设
，则
，
，可得
，从而
．

12．若
，且
，则
的最大值是 ▲ ．

12．【答案】

【解析】由
得
，
，所以
，当且仅当
时取到等号．

13．已知数列
为等差数列，首项
，公差
，若
成等比数列，且
，
，
，则数列
的通项公式
▲ ．

【答案】

【解析】本题考查等差数列和等比数列．由题意，
，
，得
，即
，所以
．又等比数列
的公比为3，所以
．根据
可得
．

14．若函数
不存在零点，则实数
的取值范围是 ▲ ．

14．【答案】

【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想．

解法一：由题意可知
，可设
，函数图象(图1)与直线
没有交点，则
．

解法二：如图(2)，在同一坐标系中画出
和
的图象．显然当
时直线与抛物线相切，所以当
时，没有交点．故
．



二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在
中，
的对边分别是
，已知平面向量
，
，且
．

（1）求
的值；

（2）若
，求边
的值．

15．【解析】（1）由题意，
…………………………2分

得
………………………………………………4分

由于
中
，
，
………………………………5分

∴
………………………………………………………6分

（2）由
得
………………………………7分

即
，
…………9分

得
，
，平方得
……………12分

所以
为正三角形，
………………………………………………… 14分

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．

（1）求证：AB⊥ED；

（2）线段EA上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？请说明你的理由．

解析：（1）证明：如图，取AB中点O，连结EO，DO.

因为EA＝EB，所以EO⊥AB. …………………………1分

因为AB∥CD，AB＝2CD，

所以BO∥CD，BO＝CD.

又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，

所以AB⊥DO. ……………………………………………4分

因为EO∩DO＝O，

所以AB⊥平面EOD. ……………………………………5分

又因为ED?平面EOD，

所以AB⊥ED. ……………………………………………6分

（2）当点F为EA中点时，有DF∥平面BCE.

证明如下：取EB中点G，连结CG，FG.

因为F为EA中点，

所以FG∥AB，FG＝AB. ………………………………8分

因为AB∥CD，CD＝AB，………………………………9分

所以FG∥CD，FG＝CD. ………………………………10分

所以四边形CDFG是平行四边形， ……………………11分

所以DF∥CG. ……………………………………………12分

因为DF?平面BCE，CG?平面BCE，

所以DF∥平面BCE. ………………………………………14分

17．（本小题满分14分）

如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数a（单位：百米）．

（1）求景观带面积的最大值；

（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即
EAF）．

17．解析：（1）设
，则
（※）

由基本不等式，
……… 3分

所以，△ECF的面积
……………… 5分

当且仅当
时等号成立

故景观带面积的最大值为
……………………………………… 6分

（2）记
，
,

则

故

由（※）可得，
，即
………………… 10分

代入上式可得，
=1

所以

故当
时，视角
为定值
……………………………………………… 14分

18．（本小题满分16分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为
，A、B是椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且△APB面积的最大值为
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线AP与直线
交于点D，证明：以BD为直径的圆与直线PF相切．

18．解析：（1）由题意可设椭圆
的方程为
．

由题意知
解得
．

故椭圆
的方程为
．……………………6分

（2）由题意，设直线
的方程为

.

则点
坐标为
，
中点
的坐标为
．

由
得
．

设点
的坐标为
，则
．

所以
，
．………………………………………10分

因为点
坐标为
，

当
时，点
的坐标为
，点
的坐标为
.

直线
轴，此时以
为直径的圆
与直线
相切．…11分

当
时，则直线
的斜率
.

所以直线
的方程为
． …………………………………………13分

点
到直线
的距离

．…………15分

又因为
，所以
．

故以
为直径的圆与直线
相切．

综上得，以
为直径的圆与直线
相切． ………………………………………16分

19．（本小题满分16分）

若数列
的前
项和为
，且满足等式
.

（1）求数列
的通项
；

（2）能否在数列
中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；

（3）令
，记函数
的图象在
轴上截得的线段长为
，设

，求
，并证明：
．

【解析】（1）当
时，
，则
.

又
，所以
，两式相减得
，

即
是首项为1，公比为
的等比数列，

所以
…………………………………………4分

（2） 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为

则
，即
，

所以
，即
，即

又
，
，所以

所以

假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列……………………9分

（3）设
与