祁东育县2014届高考模拟训练题（一）

理科数学

祁东县教研室命制 2014.2.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项符合要求．

1．若
为纯虚数，则实数
的值为　　

A．0　　　　　　　B．
　　　　　　　 C．1　　　　　D．

2. 若命题
对于任意
，有
，则对命题
的否定是

A．对于任意
　有
　　B．对于任意
有
　　　　　　　

C．存在
使
　　　　　D．存在
使

3．在一组样本数据的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的
，且样本容量为280，则中间一组的频数为( )

A.56 　 　 B.80　 　 C.112　 　 D.120

4.已知
，
，则

A．
B．
C．
或
D．

5.等差数列
中的
、
是函数
的极值点，则

A．
B．
C．
D．

6. 如图，在直三棱柱
中，E是
的中点，D是
的中点，则三棱锥
的体积与三棱柱
的体积之比是

A．
B．
C．
D．

7．设F
、F
分别是双曲线C：
的左,右焦点，过F
的直线
与双曲线的左支相交于A、B两点，且三角形
是以
为直角的等腰直角三角形，记双曲线C的离心率为
，则
为（　　）

A．
B．
C．
D．

8．菱形
的边长为
，
，沿对角线
折成如图所示的四面体，二面角
为
，
为
的中点，
在线段
上，记
，
，则函数
的图像大致为

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共35分.

（一）选做题：（请考生在以下3小题中任选2题做答，若三小题都做，则按第9和第10

题计分）

9， 如图，在极坐标下，写出点
的极坐标　　　．

10. .如图，已知
和
是圆的两条弦，过点
作圆的切线与
的延长线相交于
，过点
作
的平行线与圆交于点
,与
相交于点
,
,
,
,则线段
的长为 ．

第9题 第10题

11. 已知a，b，c∈R，且
，则
的最小值是_______.

（二）.必做题：14
15题.

12．已知程序框图如图，则输出的i=　　．

13．在
中，
，
，
，
在边

上，
,则
　　　　．

14．已知抛物线
的焦点为
，过
点，且斜率为
的直线交抛物线于A, B两点，其中第一象限内的交点为A，则
．

15．设集合
，集合
，
，
满足
且
，那么满足条件的集合A的个数为 　．

16. 在平面区域
上恒有
，则动点
所形成平面区域的面积为 ；

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数
.

(1)求
的值;

(2)设
的值

18．（本小题满分12分）

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
。现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。每个球在每一次被取出的机会是等可能的。用(表示甲四次取球获得的分数之和．

(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；

(Ⅱ)求随机变量(的概率分布列及期望E(．

19．（本小题满分12分）

如图，在等腰梯形ABCD中，

，O为AD上一点，且
，平面外两点P、E满足，
，
，
，
．

求证：
平面
;

求平面
与平面
夹角的余弦值;

若
平面PCD，求PO的长.

20. （本小题满分13分

已知函数
．

（1）当
时，证明对任意的

；

（2）求证：

．

（3）若函数
有且只有一个零点，求实数
的取值范围．

21. （本小题满分13分）

在一条笔直的工艺流水线上有
个工作台，将工艺流水线用如图
所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为
，
，
，
，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．

（Ⅰ）若
，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；

（Ⅱ）若
，工作台从左到右的人数依次为
，
，
，
，
，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

22. （本小题满分13分）

已知双曲线C：
，A.B两点分别在双曲线
的两条渐近线上，且
，又点P为AB的中点．

（1）求点P的轨迹方程并判断其形状；

（2）若不同三点D（-2,0）、S、T 均在点P的轨迹上，且
； 求T点横坐标
的取值范围。祁东育县2014届高考模拟训练题（一）

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

ACBA AA A D　

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共35分.

（一）选做题：（请考生在以下3小题中任选2题做答，若三小题都做，则按第11和第12题计分）

9.
10.
11.

（二）.必做题：14
15题.

12．9　　13．　
　　14．3　　15．55 16.

三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17． 解: (1)
……………………6分

(2)
…8分

…10分

…………12分

18．解：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，由题意知：
，

解之得n=3或n=(2（舍去），即袋中原有3个白球；

(Ⅱ)由上得。袋中有3个白球、4个黑球。甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白。相应的分数之和为4分、5分、6分、7分，即(可能的取值是4,5,6,7。

；
；

；

(

4

5

6

7



P











 所以(的概率分布列为：

.

19．解（1）在等腰梯形ABCD中
，又 ∵
，∴
平面

∴
又 ∵
∴
平面
…（4分）

（2）如图建立直角坐标系

，
，
，

求得平面
法向量为

平面
法向量为

∴平面
与平面

所成的角的余弦值为

…（8分）

(3) 设
，

可求得平面
法向量为

∴
∴
………… （12分）

（其他方法相应给分）

20.

（2）根据（1）的结论，当
时，
，即
．

（2）根据（1）的结论，当
时，
，即
．

令
，则有
， ………………………7分

．即

．…8分

(本问也可用数学归纳法证明.)

③当
时，
，设
的两根分别为
与
，

则
，
，不妨设

当
及
时，
，当
时，
，

所以函数
在
上递增，在
上递减，

而

所以
时，
，且

因此函数
在
有一个零点，而在
上无零点；

此时函数
只有一个零点；

综上，函数
只有一个零点时，实数a的取值范围为R．………………………13分

21．解：【解】设供应站坐标为
，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为
．

（Ⅰ）
……2分

当
时，
在区间
上是减函数；

当
时，
在区间
上是增函数．

则当
时，
式取最小值，即供应站的位置为
内的任意一点．
分

（Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为

．……7分

类似于（Ⅰ）的讨论知，
，且有

……
分

所以，函数
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数，在区间
上是常数．故供应站位置位于区间
上任意一点时，均能使函数
取得最小值，且最小值为
． ……………13分

22. 解：双曲线渐近线为
与

所以设
，
，

，

又
，点P的轨迹方程为

所以
时P的轨迹为圆

时P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆

时P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆 （6分）

把D（-2,0）代入
，得P的轨迹的
　　

①

（2）设直线DS为
②

联立（1）（2）得

设点S
，有
，

，
。则直线ST为

化简为：
③

联立①，③得

（ 因为三点不同，易知
）

所以
的取值范围为
…… （13分）