湖南省雅礼中学2014届高三第六次月考试题（数学文）

(时量：120分钟 满分：150分)

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.

1．集合A={x
，B=
，则
=( B )

A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{-1，0，1}

2．已知复数
满足
（
为虚数单位），则复数
所对应的点所在象限为（ D ）

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

3.下列有关命题的说法正确的是 ( C )．

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
” 是“
”的必要不充分条件.

C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题.

D．命题“
使得
”的否定是：“
均有
”．

4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)（ω＞0，－＜φ＜）的部分图象

如图所示，则ω，φ的值分别是（ A ）

A．2，－ B．2，－

C．4，－ D．4，

5.已知抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ C ）

A.
B.
C.
D.

6．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ A ）

A．
[ B．

C．
D．

7. 已知函数
，若存在正实数
，使得方程
在区间
上有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是 （ D ）

A．
B．
C．
D．

8.已知正方形ABCD的边长为2， H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足
的概率为 ( B )

A．
B．
C．
D．

9.定义在R上的函数
满足
，
为函数
的导函数，

已知
的图像如图所示，若两个正数
满足
，

则
的取值范围是 （ A ）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

10．阅读程序框图，运行相应的程序，当输入
的值为
时，

输出
的值为 4 ．

11.从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003,…，500进行编号．如果从随机数表第第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是____206_______．(下面摘录了随机数表第6行至第8行各数)

16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

12.已知函数
，则
等于 _____
______

13.在极坐标系中,圆
的圆心到直线
的距离是
.

14. 如图，矩形
内放置
个大小相同且边长为
的正方形，其中
、
、
、
都在矩形的边上，则
．

15．已知数列{an}的各项均为正整数，对于n＝1，2，3，…，有

an＋1＝

（Ⅰ）当a1＝19时，a2014＝ 98 ；

（Ⅱ）若an是不为1的奇数，且an为常数，则an＝ 5 ．

【答案】（Ⅰ）98；（Ⅱ）5

【解析】

试题分析：（Ⅰ）
,因为
是使
为奇数的正整数，而
为奇数，则
，于是
，所以
，
，同理
…于是发现这个数列是周期数列，且
,所以
；（Ⅱ）若
是奇数，则
为偶数,所以
为奇数，又因为
为常数，于是
，所以
，即
，因为数列{an}的各项均为正整数，所以当
时
满足题意.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本题满分12分）

某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1:50进行分层抽样抽取的20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如右：

得到频率分布表如下：

（1）求表中
的值，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在
范围为及格）；

（2）从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率.

17．（本题满分12分）

在
中，角
、
、
所对的边分别为
，
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，求函数
的最小正周期和单调递增区间．

18．（本题满分12分）

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为
,AE、DF是圆柱的两条母线，过
作圆柱的截面交下底面于
, 四边形ABCD是正方形.

（Ⅰ）求证
；

（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.

证明：（Ⅰ）
AE是圆柱的母线，

下底面，又

下底面，

…………………………….3分

又
截面ABCD是正方形，所以
⊥
，又

⊥面
，又
面
，

……………………………5分

（Ⅱ）因为母线
垂直于底面，所以
是三棱锥
的高………………6分，

由（Ⅰ）知
⊥面
，
面
，
面
⊥面
，

过
作
，交
于
，

又
面

面

，
面
，

面
，即EO就是四棱锥
的高…………………（8分）

设正方形
的边长为
, 则
，

又

，


为直径，即

在
中，
, 即

， …………………………（10分）

………（12分）

19．（本小题满分13分）

若正数项数列
的前
项和为
，且满足
，其中首项
.

（1）求
及数列
的通项公式
；

（2）设
,
表示数列
的前项和, 若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

解：

易知
，

由题意可得

……………………………………………………………………6分

20．（本小题满分13分）

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当直线
的斜率为1时，坐标原点O到直线
的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

∴所求椭圆C的方程为
．…………………………………5分

化简整理，得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝．

当t＝时，P(，－)，l的方程为x－y－＝0；

当t＝－时，P(，)，l的方程为x＋y－＝0．

故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0．

…………………………………13分

21.（本小题满分13分）

设函数
(其中
).

(1) 当
时，求函数
的单调区间和极值；

(2) 当
时，判断函数
在
上的零点个数，并说明理由．

解析：

．
在
上单增，